Monotoniczność funkcji

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna gdy w dla wszystkich argumentów jest rosnąca, malejąca lub stała. Czasami możemy spotkać się też z określeniami niemalejąca i nierosnąca.  

Funkcja rosnąca

Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) rosną także wartości funkcji.

dla każdego x_1 < x_2 prawdą jest, że f(x_1) < f(x_2)


Funkcja malejąca

Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) wartości funkcji maleją.

dla każdego x_1 < x_2 prawdą jest, że f(x_1) > f(x_2)


Funkcja stała

Funkcję nazywamy stałą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli dla wszystkich argumentów z tego zbioru (przedziału) przyjmuje tą samą wartość.

dla każdego x_1 < x_2 prawdą jest, że f(x_1) = f(x_2)


Funkcja niemalejąca

Funkcję nazywamy niemalejącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) wartości funkcji są sobie równe lub rosną.

Innymi słowy funkcja jest stała lub rosnąca.

dla każdego x_1 < x_2 prawdą jest, że f(x_1) \le f(x_2)


Funkcja nierosnąca

Funkcję nazywamy nierosnącą w zbiorze (lub przedziale), jeżeli wraz ze wzrostem argumentów z tego zbioru (przedziału) wartości funkcji są sobie równe lub maleją.

Innymi słowy funkcja jest stała lub malejąca. 

dla każdego x_1 < x_2 prawdą jest, że f(x_1) \ge f(x_2)


Przedziały monotoniczności

Bardzo często zdarza się, że funkcja nie jest monotoniczna dla całej dziedziny, ale jest monotoniczna przedziałami. tzn. W jednym przedziale rośnie, w innym maleje itd. 

Przykłady

Określ monotoniczność funkcji przedstawionej na rysunku

 

Powyższa funkcja jest

a) rosnąca w przedziale [-2,1)

Zauważ, że w tym przedziale argumenty ( czyli x) zwiększają się od wartości -2 do 1. Wartości funkcji dla argumentów z tego przedziału również rosną od y=-2 do y=4 na końcu przedziału.

b) stała w przedziale  [2,4)

W tym przedziale dla każdego argumentu  ( czyli x) wartości funkcji są zawsze takie same równe  4.

c) malejąca w przedziale (4,6]

W  przedziale (4,6] argumenty ( czyli x) zwiększają się od wartości  4 do 6. Wartości funkcji dla argumentów z tego przedziału maleją od wartości y=6 na początku przedziału do y=4 na końcu przedziału.


Zadanie 1

Maksymalny przedział, w którym funkcja przedstawiona na powyższym rysunku maleje to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Maksymalny przedział, w którym funkcja przedstawiona na powyższym rysunku rośnie to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wskaż zdanie prawdziwe.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

 

Na rysunku został przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Odczytaj z tego wykresu funkcji następujące wartości:

a) miejsca zerowe

b) dziedzinę

c) zbiór wartości

d) maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wskaż zdanie prawdziwe.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Podaj przedziały monotoniczności funkcji przedstawionej na rysunku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Narysuj wykres funkcji, która spełnia warunki:

1) jest malejąca w przedziale [1,4],

2) rosnąca w przedziale (4,7),

3) stała w przedziale [7,+\infty),

3) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja dana wzorem f(x)=4x-5, x\in \mathbb{R} jest rosnąca.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz