Działania na macierzach.


Spis treści

  1. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy.
  2. Odwracanie macierzy.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy.

Mamy dane macierze , i :

Poniżej opisane są kolejne działanie jakie wykonujemy na macierzach:

Dodawanie macierzy:

Możemy dodawać macierze, ale tylko tych samych wymiarów. Dodajemy do siebie odpowiednie elementy pierwszej i drugiej macierzy:

Przykład 1

 

Odejmowanie macierzy:

Możemy odejmować macierze, ale tylko tych samych wymiarów.

Przykład 2

Mnożenie macierzy:

Możemy mnożyć przez siebie macierze, ale:

wynikiem takiego mnożenia jest macierz:

A teraz żeby nie dostać oczopląsu przykład jak to się mnoży.

 

Przykład 3

Wykonaj mnożenie macierzy:

Na początku warto, zwrócić uwagę na inny zapis macierzy kiedy je zaczynamy mnożyć. Drugą macierz przez którą mnożymy zapisujemy nad macierzą będącą wynikiem. Tak jak poniżej:

W wyniku mnożenia dwóch danych macierzy otrzymamy macierz o wymiarach . W jaki sposób otrzymujemy kolejne elementy przedstawione jest poniżej:

  • Element :

Mnożymy pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy. Kolejne iloczyny do siebie dodajemy:

 

 Pozostałe elementy otrzymujemy analogicznie, spójrz:

  • Element :

 

  • Element :

  • Element :

Podsumowując:

Mnożenie macierzy przez skalar:

Mnożąc macierz przez skalar, mnożymy każdy element tej macierzy przez ten skalar. Tzn:

Przykład 4

Dane są dwie macierze . Do odpowiednich działań na tych macierzach, dołącz ich wyniki.

Odwracanie macierzy.

Na początku ważne pytanie: Jakie macierze możemy odwracać?

Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową (liczba kolumn i liczba wierszy są sobie równe) oraz wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, to istnieje macierz odwrotna.

Jak odwrócić macierz?

Najbardziej ogólny sposób to skorzystanie z następującego wzoru:

Wzór: Odwracanie macierzy

gdzie:

- wyznacznik macierzy

- macierz dołączona do macierzy ( macierz dopełnień transponowana).

Ostrzegam, że przy macierzach większych rozmiarów tworzenie macierzy dopełnień algebraicznych wiąże się z długim liczeniem.  A teraz przykład jak znaleźć macierz odwrotną.

Przykład 5

Dana jest macierz

.

Znaleźć .

Ponieważ macierz dołączona jest transponowaną macierzą dopełnień, to pierwszym krokiem jaki należy wykonać to znaleźć macierz dopełnień algebraicznych. Wykonujemy to w następujący sposób...

Najpierw dla każdego elementu  macierzy musimy wyznaczyć minor mu odpowiadający ( ). Dla elementu , ten minor tworzymy tak, że w macierzy wyjściowej skreślamy -ty wiersz i -tą kolumnę. Tak jak poniżej:

  • dla elementu , minor mu odpowiadający , tworzymy tak:

  • dla elementu , minor mu odpowiadający , tworzymy tak:

  • dla elementu , minor mu odpowiadający , tworzymy tak:


Wyznaczniki dla pozostałych elementów macierzy tworzymy analogicznie.

Każdy element macierzy zastępujemy przez jego dopełnienie algebraiczne, tzn. odpowiadający mu minor pomnożony przez . Jeżeli wszystkie elementy macierzy zastąpimy przez ich dopełnienia algebraiczne to otrzymujemy macierz dopełnień. Jak poniżej:

 

Po obliczeniu wszystkich wyznaczników otrzymujemy, że:

.

Teraz, aby w końcu uzyskać macierz dołączoną, musimy tą macierz dopełnień transponować. Czyli:

.

Ostatni krok to obliczenie wyznacznika macierzy , i wreszcie będziemy mogli znaleźć jej macierz odwrotną:

 

 No to teraz podstawiamy do wzoru wszystkie obliczone dane:

 

Odwracanie macierzy 2x2

A teraz mam dla Ciebie dobrą wiadomość. Odwracanie macierzy jest bardzo proste!

Popatrz, mamy daną taką macierz:

 

Jeżeli chcemy znaleźć macierz odwrotną do tej macierzy to postępujemy tak:

1) obliczamy wyznacznik

2) w macierzy na przekątnej zmieniamy kolejność wyrazów ( zamieniamy miejscem i ), a do pozostałych wyrazów dopisujemy minusy ( do i dopisujemy minus):


Po pomnożeniu tej przekształconej macierzy przez odwrotność wyznacznika otrzymujemy macierz odwrotną:

Innym szczególnym przypadkiem macierzy, których odwracanie jest bardzo proste to macierz diagonalna.

 

Odwracanie macierzy diagonalnej:

Dla przypomnienia, macierz diagonalna to taka, która ma niezerowe elementy tylko na przekątnej. Odwrócenie takiej macierzy polega tylko na odwróceniu każdego jej elementu na tej przekątnej. Zobacz na przykład:

        

A teraz kilka własności, które warto zapamiętać.

  •  

Jeżeli dwa razy odwrócimy pewną macierz, to otrzymamy znowu tą samą macierz.

Jeżeli odwracamy iloczyn macierzy, to otrzymujemy iloczyn odwrotności tych macierzy, ale w odwrotnej kolejności! To jest ważne, że zamieniamy kolejność mnożenia, bo mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Wyznacznik macierzy odwrotnej, jest równy odwrotności wyznacznika danej macierzy, którą odwracamy.

Do macierzy dopasuj ich macierze odwrotne.




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Definicja i rodziaje liniowych układów równań.
  2. Macierze - podstawowe definicje.
  3. Obliczanie wartości wyznacznika (metoda Laplace'a)
  4. Twierdzenie Cramera.
  5. Twierdzenie Kroneckera-Capellego
  6. Wyznacznik - definicja i własności.

Zadania do przećwiczenia (11):

Studia » Macierze i wyznaczniki » #1545
0

Znajdź macierz , gdzie

, .


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1546
0

Znajdź macierz , gdzie

.


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1547
0

Oblicz , gdzie

.


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1548
0

Oblicz , jeżeli

.


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1551
0

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1552
0

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1553
0

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1554
3

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1557
0

Oblicz rząd macierzy , jeżeli

.


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1562
0

Znajdź macierz taką, że:

.


S
D
Studia » Macierze i wyznaczniki » #1568
1

Rozwiąż układ równań:

.


S
D

Zobacz zadania z działu macierze i wyznaczniki(22)


Komentarze (
1
):