Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy.

Mamy dane macierze A, B i C:

A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\  a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  a_{m1} &a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12}&...&b_{1n} \\  b_{21} &b_{22}&...&b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  b_{m1} &b_{m2}&...&b_{mn} \end{bmatrix} C=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12}&...&c_{1k} \\ c_{21} &c_{22}&...&c_{2k} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ c_{n1} &c_{n2}&...&c_{nk} \end{bmatrix}

Poniżej opisane są kolejne działanie jakie wykonujemy na macierzach:

Dodawanie macierzy:

Możemy dodawać macierze, ale tylko tych samych wymiarów. Dodajemy do siebie odpowiednie elementy pierwszej i drugiej macierzy:

A+B=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\  a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  a_{m1} &a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12}&...&b_{1n} \\  b_{21} &b_{22}&...&b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  b_{m1} &b_{m2}&...&b_{mn} \end{bmatrix}=

=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n} \\  a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22}&...&a_{21}+b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}

Przykład 1

\begin{bmatrix}1&3&2 \\-1&2&6 \\4&6&-8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3&9&8 \\ 1&0&-1 \\ 2&7 &8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+3&3+9&2+8 \\-1+1& 2+0&6-1\\ 4+2&6+7& -8+8\end{bmatrix}

 

Odejmowanie macierzy:

Możemy odejmować macierze, ale tylko tych samych wymiarów.

A-B=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\  a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12}&...&b_{1n} \\  b_{21} &b_{22}&...&b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  b_{m1} &b_{m2}&...&b_{mn} \end{bmatrix}=

=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} &a_{12}-b_{12}&...&a_{1n}-b_{1n} \\  a_{21}-b_{21} &a_{22}-b_{22}&...&a_{21}-b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  a_{m1}-b_{m1} &a_{m2}-b_{m2}&...&a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix}

Przykład 2

\begin{bmatrix} 1&3&2\\ -1&2&6 \\4&6&-8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3&9&8 \\ 1&0&-1 \\ 2&7&8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-3&3-9&2-8 \\-1-1& 2-0&6+1\\ 4-2 & 6-7&-8-8 \end{bmatrix}

Mnożenie macierzy:

Możemy mnożyć przez siebie macierze, ale:

wynikiem takiego mnożenia jest macierz:

\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}c_{j1} &\sum_{j=1}^{n}a_{1j}c_{j2}&...&\sum_{j=1}^{n}a_{1j}c_{jk} \\ \sum_{j=1}^{n}a_{2j}c_{j1} &\sum_{j=1}^{n}a_{2j}c_{j2}&...&\sum_{j=1}^{n}a_{2j}c_{jk} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ \sum_{j=1}^{n}a_{mj}c_{j1} &\sum_{j=1}^{n}a_{mj}c_{j2}&...&\sum_{j=1}^{n}a_{mj}c_{jk} \end{bmatrix}

A teraz żeby nie dostać oczopląsu przykład jak to się mnoży.

 

Przykład 3

Wykonaj mnożenie macierzy:

\begin{bmatrix} 1&5 &0\\2&-3&1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}0&-2 \\ 1&1\\ 3&4 \end{bmatrix}=

Na początku warto, zwrócić uwagę na inny zapis macierzy kiedy je zaczynamy mnożyć. Drugą macierz przez którą mnożymy zapisujemy nad macierzą będącą wynikiem. Tak jak poniżej:

W wyniku mnożenia dwóch danych macierzy otrzymamy macierz o wymiarach 2\times 2. W jaki sposób otrzymujemy kolejne elementy a_{11}, a_{12},a_{21},a_{22} przedstawione jest poniżej:

  • Element a_{11}:

Mnożymy pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy. Kolejne iloczyny do siebie dodajemy:

 

 Pozostałe elementy otrzymujemy analogicznie, spójrz:

  • Element a_{12}:

 

  • Element a_{21}:

  • Element a_{22}:

Podsumowując:

\begin{bmatrix}1&5 &0\\2&-3&1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}0&-2 \\ 1&1\\ 3&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&3\\0&-3\end{bmatrix}

Mnożenie macierzy przez skalar:

Mnożąc macierz przez skalar, mnożymy każdy element tej macierzy przez ten skalar. Tzn:

\lambda * A=\lambda * \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\  a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  a_{m1} &a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda * a_{11} &\lambda * a_{12}&...&\lambda * a_{1n} \\  \lambda * a_{21} &\lambda * a_{22}&...&\lambda * a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\  \lambda * a_{m1} &\lambda * a_{m2}&...&\lambda * a_{mn} \end{bmatrix}

Przykład 4

2*\begin{bmatrix}1&5&0\\2&-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2* 1&2* 5&2* 0\\2* 2&2*(-3)&2* 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&10 & 0\\4&-6&2\end{bmatrix}

Odwracanie macierzy.

Na początku ważne pytanie: Jakie macierze możemy odwracać?

Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową (liczba kolumn i liczba wierszy są sobie równe) oraz wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, to istnieje macierz odwrotna.

Jak odwrócić macierz?

Najbardziej ogólny sposób to skorzystanie z następującego wzoru:

Wzór: Odwracanie macierzy

A^{-1}=\cfrac{1}{detA}* A^D

gdzie:

det A - wyznacznik macierzy A

A^{D}- macierz dołączona do macierzy A ( macierz dopełnień transponowana).

Ostrzegam, że przy macierzach większych rozmiarów tworzenie macierzy dopełnień algebraicznych wiąże się z długim liczeniem.  A teraz przykład jak znaleźć macierz odwrotną.

Przykład 5

Dana jest macierz

A=\begin{bmatrix}1&2&4\\ 1&0&2\\ 2&3&1 \end{bmatrix}.

Znaleźć A^{-1}.

Ponieważ macierz dołączona jest transponowaną macierzą dopełnień, to pierwszym krokiem jaki należy wykonać to znaleźć macierz dopełnień algebraicznych. Wykonujemy to w następujący sposób...

Najpierw dla każdego elementu  a_{ij} macierzy musimy wyznaczyć minor mu odpowiadający ( M_{ij}). Dla elementu a_{ij}, ten minor tworzymy tak, że w macierzy wyjściowej skreślamy i-ty wiersz i j-tą kolumnę. Tak jak poniżej:

  • dla elementu a_{11}=1, minor mu odpowiadający M_{11}, tworzymy tak:

  • dla elementu a_{21}=1, minor mu odpowiadający M_{21}, tworzymy tak:

  • dla elementu a_{22}=0, minor mu odpowiadający M_{22}, tworzymy tak:


Wyznaczniki dla pozostałych elementów macierzy tworzymy analogicznie.

Każdy element a_{ij} macierzy zastępujemy przez jego dopełnienie algebraiczne, tzn. odpowiadający mu minor pomnożony przez (-1)^{i+j}. Jeżeli wszystkie elementy macierzy zastąpimy przez ich dopełnienia algebraiczne to otrzymujemy macierz dopełnień. Jak poniżej:

 

Po obliczeniu wszystkich wyznaczników otrzymujemy, że:

A_{dop}=\begin{bmatrix}-6& 3&3\\ 10& -7&1\\4&2&-2 \end{bmatrix}.

Teraz, aby w końcu uzyskać macierz dołączoną, musimy tą macierz dopełnień transponować. Czyli:

A^D=A_{dop}^T=\begin{bmatrix}-6&10&4\\ 3&-7&2\\3&1&-2 \end{bmatrix}.

Ostatni krok to obliczenie wyznacznika macierzy A, i wreszcie będziemy mogli znaleźć jej macierz odwrotną:

 detA=12

 No to teraz podstawiamy do wzoru wszystkie obliczone dane:

A^{-1}=\cfrac{1}{detA}*  A^D=\cfrac{1}{12}*\begin{bmatrix}-6&10&4\\  3&-7&2\\3&1&-2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cfrac{1}{2}&\cfrac{5}{6}&\cfrac{1}{3}\\   \cfrac{1}{4}&-\cfrac{7}{12}&\cfrac{1}{6}\\\cfrac{1}{4}&\cfrac{1}{12}&-\cfrac{1}{6}  \end{bmatrix}

 

Odwracanie macierzy 2x2

A teraz mam dla Ciebie dobrą wiadomość. Odwracanie macierzy 2\times 2 jest bardzo proste!

Popatrz, mamy daną taką macierz:

 A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}

Jeżeli chcemy znaleźć macierz odwrotną do tej macierzy to postępujemy tak:

1) obliczamy wyznacznik

detA=\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=a* d- b* c

2) w macierzy A na przekątnej zmieniamy kolejność wyrazów ( zamieniamy miejscem a i d), a do pozostałych wyrazów dopisujemy minusy ( do b i c dopisujemy minus):


Po pomnożeniu tej przekształconej macierzy przez odwrotność wyznacznika otrzymujemy macierz odwrotną:

\begin{bmatrix} a&b \\ c&d  \end{bmatrix}^{-1}=\cfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a  \end{bmatrix}

Innym szczególnym przypadkiem macierzy, których odwracanie jest bardzo proste to macierz diagonalna.

 

Odwracanie macierzy diagonalnej:

Dla przypomnienia, macierz diagonalna to taka, która ma niezerowe elementy tylko na przekątnej. Odwrócenie takiej macierzy polega tylko na odwróceniu każdego jej elementu na tej przekątnej. Zobacz na przykład:

A= \begin{bmatrix}2&0&0\\0&6&0\\0&0&-7\end{bmatrix}          A^{-1}= \begin{bmatrix}\cfrac{1}{2}&0&0\\0&\cfrac{1}{6}&0\\0&0&-\cfrac{1}{7}\end{bmatrix}

A teraz kilka własności, które warto zapamiętać.

  • (A^{-1})^{-1}=A 

Jeżeli dwa razy odwrócimy pewną macierz, to otrzymamy znowu tą samą macierz.

  • (A* B)^{-1}=B^{-1}* A^{-1}

Jeżeli odwracamy iloczyn macierzy, to otrzymujemy iloczyn odwrotności tych macierzy, ale w odwrotnej kolejności! To jest ważne, że zamieniamy kolejność mnożenia, bo mnożenie macierzy nie jest przemienne.

  • detA^{-1}=\cfrac{1}{detA}

Wyznacznik macierzy odwrotnej, jest równy odwrotności wyznacznika danej macierzy, którą odwracamy.


Zadanie 1

Znajdź macierz C=A^{-1}* B^{T}, gdzie

A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 3&3 \\ 1&1 \end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Znajdź macierz B, gdzie

\begin{bmatrix} 3&4 \\ 1&7\end{bmatrix} * B =\begin{bmatrix} 23&22 \\ 19&13 \end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz A * B^{T}, gdzie

A=\begin{bmatrix}3&4\\1&7\\4&3\end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}5&6\\2&1\\5&6\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz A^{-1}, jeżeli

A=\begin{bmatrix}3&4&3\\ 0&1&7\\4&1&2\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+2y=5\\3x+4y=6\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y=1\\2x+5y=2\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y+3z=0\\2x+y+4z=2\\2x+4z=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+4z=2\\x+2y+3z=6\\4x+3y=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Oblicz rząd macierzy A, jeżeli

A=\begin{bmatrix}2&0&10&2\\ 6&3&0&2\\1&0&5&1\\1&1&0&1\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Znajdź macierz X taką, że:

3X-2X^{T}=\begin{bmatrix}  1&1 \\ -1&4\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-x-2y-2z+t=1\\-4x-y+3z-t=2\\x+y-z+t=-1\end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz