Działania na macierzach.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy.

Mamy dane macierze $A$ , $B$ i $C$ :

$A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1} &a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12}&...&b_{1n} \\ b_{21} &b_{22}&...&b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ b_{m1} &b_{m2}&...&b_{mn} \end{bmatrix}$ $C=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12}&...&c_{1k} \\ c_{21} &c_{22}&...&c_{2k} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ c_{n1} &c_{n2}&...&c_{nk} \end{bmatrix}$

Poniżej opisane są kolejne działanie jakie wykonujemy na macierzach:

Dodawanie macierzy:

Możemy dodawać macierze, ale tylko tych samych wymiarów. Dodajemy do siebie odpowiednie elementy pierwszej i drugiej macierzy:

$A+B=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1} &a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12}&...&b_{1n} \\ b_{21} &b_{22}&...&b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ b_{m1} &b_{m2}&...&b_{mn} \end{bmatrix}=$

$=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22}&...&a_{21}+b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$

Przykład 1

$\begin{bmatrix}1&3&2 \\-1&2&6 \\4&6&-8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3&9&8 \\ 1&0&-1 \\ 2&7 &8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+3&3+9&2+8 \\-1+1& 2+0&6-1\\ 4+2&6+7& -8+8\end{bmatrix}$

Odejmowanie macierzy:

Możemy odejmować macierze, ale tylko tych samych wymiarów.

$A-B=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12}&...&b_{1n} \\ b_{21} &b_{22}&...&b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ b_{m1} &b_{m2}&...&b_{mn} \end{bmatrix}=$

$=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} &a_{12}-b_{12}&...&a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} &a_{22}-b_{22}&...&a_{21}-b_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1}-b_{m1} &a_{m2}-b_{m2}&...&a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix}$

Przykład 2

$\begin{bmatrix} 1&3&2\\ -1&2&6 \\4&6&-8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3&9&8 \\ 1&0&-1 \\ 2&7&8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-3&3-9&2-8 \\-1-1& 2-0&6+1\\ 4-2 & 6-7&-8-8 \end{bmatrix}$

Mnożenie macierzy:

Możemy mnożyć przez siebie macierze, ale:

wynikiem takiego mnożenia jest macierz:

$\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}c_{j1} &\sum_{j=1}^{n}a_{1j}c_{j2}&...&\sum_{j=1}^{n}a_{1j}c_{jk} \\ \sum_{j=1}^{n}a_{2j}c_{j1} &\sum_{j=1}^{n}a_{2j}c_{j2}&...&\sum_{j=1}^{n}a_{2j}c_{jk} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ \sum_{j=1}^{n}a_{mj}c_{j1} &\sum_{j=1}^{n}a_{mj}c_{j2}&...&\sum_{j=1}^{n}a_{mj}c_{jk} \end{bmatrix}$

A teraz żeby nie dostać oczopląsu przykład jak to się mnoży.

Przykład 3

Wykonaj mnożenie macierzy:

$\begin{bmatrix} 1&5 &0\\2&-3&1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}0&-2 \\ 1&1\\ 3&4 \end{bmatrix}=$

Na początku warto, zwrócić uwagę na inny zapis macierzy kiedy je zaczynamy mnożyć. Drugą macierz przez którą mnożymy zapisujemy nad macierzą będącą wynikiem. Tak jak poniżej:

W wyniku mnożenia dwóch danych macierzy otrzymamy macierz o wymiarach $2\times 2$ . W jaki sposób otrzymujemy kolejne elementy $a_{11}, a_{12},a_{21},a_{22}$ przedstawione jest poniżej:

Element $a_{11}$ :

Mnożymy pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy. Kolejne iloczyny do siebie dodajemy:

Pozostałe elementy otrzymujemy analogicznie, spójrz:

Element $a_{12}$ :

Element $a_{21}$ :

Element $a_{22}$ :

Podsumowując:

$\begin{bmatrix}1&5 &0\\2&-3&1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}0&-2 \\ 1&1\\ 3&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&3\\0&-3\end{bmatrix}$

Mnożenie macierzy przez skalar:

Mnożąc macierz przez skalar, mnożymy każdy element tej macierzy przez ten skalar. Tzn:

$\lambda * A=\lambda * \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&...&a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1} &a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda * a_{11} &\lambda * a_{12}&...&\lambda * a_{1n} \\ \lambda * a_{21} &\lambda * a_{22}&...&\lambda * a_{2n} \\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ \lambda * a_{m1} &\lambda * a_{m2}&...&\lambda * a_{mn} \end{bmatrix}$

Przykład 4

$2*\begin{bmatrix}1&5&0\\2&-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2* 1&2* 5&2* 0\\2* 2&2*(-3)&2* 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&10 & 0\\4&-6&2\end{bmatrix}$

Odwracanie macierzy.

Na początku ważne pytanie: Jakie macierze możemy odwracać?

Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową (liczba kolumn i liczba wierszy są sobie równe) oraz wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, to istnieje macierz odwrotna.

Jak odwrócić macierz?

Najbardziej ogólny sposób to skorzystanie z następującego wzoru:

Wzór: Odwracanie macierzy

$A^{-1}=\cfrac{1}{detA}* A^D$

gdzie:

$det A$ - wyznacznik macierzy $A$

$A^{D}$ - macierz dołączona do macierzy $A$ ( macierz dopełnień transponowana).

Ostrzegam, że przy macierzach większych rozmiarów tworzenie macierzy dopełnień algebraicznych wiąże się z długim liczeniem. A teraz przykład jak znaleźć macierz odwrotną.

Przykład 5

Dana jest macierz

$A=\begin{bmatrix}1&2&4\\ 1&0&2\\ 2&3&1 \end{bmatrix}$ .

Znaleźć $A^{-1}$ .

Ponieważ macierz dołączona jest transponowaną macierzą dopełnień, to pierwszym krokiem jaki należy wykonać to znaleźć macierz dopełnień algebraicznych. Wykonujemy to w następujący sposób...

Najpierw dla każdego elementu $a_{ij}$ macierzy musimy wyznaczyć minor mu odpowiadający ( $M_{ij}$ ). Dla elementu $a_{ij}$ , ten minor tworzymy tak, że w macierzy wyjściowej skreślamy $i$ -ty wiersz i $j$ -tą kolumnę. Tak jak poniżej:

dla elementu $a_{11}=1$ , minor mu odpowiadający $M_{11}$ , tworzymy tak:

dla elementu $a_{21}=1$ , minor mu odpowiadający $M_{21}$ , tworzymy tak:

dla elementu $a_{22}=0$ , minor mu odpowiadający $M_{22}$ , tworzymy tak:

Wyznaczniki dla pozostałych elementów macierzy tworzymy analogicznie.

Każdy element $a_{ij}$ macierzy zastępujemy przez jego dopełnienie algebraiczne, tzn. odpowiadający mu minor pomnożony przez $(-1)^{i+j}$ . Jeżeli wszystkie elementy macierzy zastąpimy przez ich dopełnienia algebraiczne to otrzymujemy macierz dopełnień. Jak poniżej:

Po obliczeniu wszystkich wyznaczników otrzymujemy, że:

$A_{dop}=\begin{bmatrix}-6& 3&3\\ 10& -7&1\\4&2&-2 \end{bmatrix}$ .

Teraz, aby w końcu uzyskać macierz dołączoną, musimy tą macierz dopełnień transponować. Czyli:

$A^D=A_{dop}^T=\begin{bmatrix}-6&10&4\\ 3&-7&2\\3&1&-2 \end{bmatrix}$ .

Ostatni krok to obliczenie wyznacznika macierzy $A$ , i wreszcie będziemy mogli znaleźć jej macierz odwrotną:

$detA=12$

No to teraz podstawiamy do wzoru wszystkie obliczone dane:

$A^{-1}=\cfrac{1}{detA}* A^D=\cfrac{1}{12}*\begin{bmatrix}-6&10&4\\ 3&-7&2\\3&1&-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cfrac{1}{2}&\cfrac{5}{6}&\cfrac{1}{3}\\ \cfrac{1}{4}&-\cfrac{7}{12}&\cfrac{1}{6}\\\cfrac{1}{4}&\cfrac{1}{12}&-\cfrac{1}{6} \end{bmatrix}$

Odwracanie macierzy 2x2

A teraz mam dla Ciebie dobrą wiadomość. Odwracanie macierzy $2\times 2$ jest bardzo proste!

Popatrz, mamy daną taką macierz:

$A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$

Jeżeli chcemy znaleźć macierz odwrotną do tej macierzy to postępujemy tak:

1) obliczamy wyznacznik

$detA=\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=a* d- b* c$

2) w macierzy $A$ na przekątnej zmieniamy kolejność wyrazów ( zamieniamy miejscem $a$ i $d$ ), a do pozostałych wyrazów dopisujemy minusy ( do $b$ i $c$ dopisujemy minus):

Po pomnożeniu tej przekształconej macierzy przez odwrotność wyznacznika otrzymujemy macierz odwrotną:

$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1}=\cfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a \end{bmatrix}$

Innym szczególnym przypadkiem macierzy, których odwracanie jest bardzo proste to macierz diagonalna.

Odwracanie macierzy diagonalnej:

Dla przypomnienia, macierz diagonalna to taka, która ma niezerowe elementy tylko na przekątnej. Odwrócenie takiej macierzy polega tylko na odwróceniu każdego jej elementu na tej przekątnej. Zobacz na przykład:

$A= \begin{bmatrix}2&0&0\\0&6&0\\0&0&-7\end{bmatrix}$ $A^{-1}= \begin{bmatrix}\cfrac{1}{2}&0&0\\0&\cfrac{1}{6}&0\\0&0&-\cfrac{1}{7}\end{bmatrix}$

A teraz kilka własności, które warto zapamiętać.

$(A^{-1})^{-1}=A$

Jeżeli dwa razy odwrócimy pewną macierz, to otrzymamy znowu tą samą macierz.

$(A* B)^{-1}=B^{-1}* A^{-1}$

Jeżeli odwracamy iloczyn macierzy, to otrzymujemy iloczyn odwrotności tych macierzy, ale w odwrotnej kolejności! To jest ważne, że zamieniamy kolejność mnożenia, bo mnożenie macierzy nie jest przemienne.