Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy.
Mamy dane macierze ,
i
:
Poniżej opisane są kolejne działanie jakie wykonujemy na macierzach:
Dodawanie macierzy:
Możemy dodawać macierze, ale tylko tych samych wymiarów. Dodajemy do siebie odpowiednie elementy pierwszej i drugiej macierzy:
Odejmowanie macierzy:
Możemy odejmować macierze, ale tylko tych samych wymiarów.
Mnożenie macierzy:
Możemy mnożyć przez siebie macierze, ale:
wynikiem takiego mnożenia jest macierz:
A teraz żeby nie dostać oczopląsu przykład jak to się mnoży.
Wykonaj mnożenie macierzy:
Na początku warto, zwrócić uwagę na inny zapis macierzy kiedy je zaczynamy mnożyć. Drugą macierz przez którą mnożymy zapisujemy nad macierzą będącą wynikiem. Tak jak poniżej:
W wyniku mnożenia dwóch danych macierzy otrzymamy macierz o wymiarach . W jaki sposób otrzymujemy kolejne elementy
przedstawione jest poniżej:
- Element
:
Mnożymy pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy. Kolejne iloczyny do siebie dodajemy:
Pozostałe elementy otrzymujemy analogicznie, spójrz:
- Element
:
- Element
:
- Element
:
Podsumowując:
Mnożenie macierzy przez skalar:
Mnożąc macierz przez skalar, mnożymy każdy element tej macierzy przez ten skalar. Tzn:
Odwracanie macierzy.
Na początku ważne pytanie: Jakie macierze możemy odwracać?
Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową (liczba kolumn i liczba wierszy są sobie równe) oraz wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, to istnieje macierz odwrotna.
Jak odwrócić macierz?
Najbardziej ogólny sposób to skorzystanie z następującego wzoru:
gdzie:
- wyznacznik macierzy
- macierz dołączona do macierzy
( macierz dopełnień transponowana).
Ostrzegam, że przy macierzach większych rozmiarów tworzenie macierzy dopełnień algebraicznych wiąże się z długim liczeniem. A teraz przykład jak znaleźć macierz odwrotną.
Dana jest macierz
.
Znaleźć .
Ponieważ macierz dołączona jest transponowaną macierzą dopełnień, to pierwszym krokiem jaki należy wykonać to znaleźć macierz dopełnień algebraicznych. Wykonujemy to w następujący sposób...
Najpierw dla każdego elementu macierzy musimy wyznaczyć minor mu odpowiadający (
). Dla elementu
, ten minor tworzymy tak, że w macierzy wyjściowej skreślamy
-ty wiersz i
-tą kolumnę. Tak jak poniżej:
- dla elementu
, minor mu odpowiadający
, tworzymy tak:
- dla elementu
, minor mu odpowiadający
, tworzymy tak:
- dla elementu
, minor mu odpowiadający
, tworzymy tak:
Wyznaczniki dla pozostałych elementów macierzy tworzymy analogicznie.
Każdy element macierzy zastępujemy przez jego dopełnienie algebraiczne, tzn. odpowiadający mu minor pomnożony przez
. Jeżeli wszystkie elementy macierzy zastąpimy przez ich dopełnienia algebraiczne to otrzymujemy macierz dopełnień. Jak poniżej:
Po obliczeniu wszystkich wyznaczników otrzymujemy, że:
.
Teraz, aby w końcu uzyskać macierz dołączoną, musimy tą macierz dopełnień transponować. Czyli:
.
Ostatni krok to obliczenie wyznacznika macierzy , i wreszcie będziemy mogli znaleźć jej macierz odwrotną:
No to teraz podstawiamy do wzoru wszystkie obliczone dane:
Odwracanie macierzy 2x2
A teraz mam dla Ciebie dobrą wiadomość. Odwracanie macierzy jest bardzo proste!
Popatrz, mamy daną taką macierz:
Jeżeli chcemy znaleźć macierz odwrotną do tej macierzy to postępujemy tak:
1) obliczamy wyznacznik
2) w macierzy na przekątnej zmieniamy kolejność wyrazów ( zamieniamy miejscem
i
), a do pozostałych wyrazów dopisujemy minusy ( do
i
dopisujemy minus):
Po pomnożeniu tej przekształconej macierzy przez odwrotność wyznacznika otrzymujemy macierz odwrotną:
Innym szczególnym przypadkiem macierzy, których odwracanie jest bardzo proste to macierz diagonalna.
Odwracanie macierzy diagonalnej:
Dla przypomnienia, macierz diagonalna to taka, która ma niezerowe elementy tylko na przekątnej. Odwrócenie takiej macierzy polega tylko na odwróceniu każdego jej elementu na tej przekątnej. Zobacz na przykład:
A teraz kilka własności, które warto zapamiętać.
Jeżeli dwa razy odwrócimy pewną macierz, to otrzymamy znowu tą samą macierz.
Jeżeli odwracamy iloczyn macierzy, to otrzymujemy iloczyn odwrotności tych macierzy, ale w odwrotnej kolejności! To jest ważne, że zamieniamy kolejność mnożenia, bo mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Wyznacznik macierzy odwrotnej, jest równy odwrotności wyznacznika danej macierzy, którą odwracamy.
Zobacz rozwiązanieZnajdź macierz
, gdzie
,
.
Zobacz rozwiązanieZnajdź macierz
, gdzie
.
Zobacz rozwiązanieOblicz
, gdzie
,
.
Zobacz rozwiązanieOblicz
, jeżeli
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż metodą macierzową układ równań:
Zobacz rozwiązanieRozwiąż metodą macierzową układ równań:
Zobacz rozwiązanieRozwiąż metodą macierzową układ równań:
Zobacz rozwiązanieRozwiąż metodą macierzową układ równań:
Zobacz rozwiązanieOblicz rząd macierzy
, jeżeli
.
Zobacz rozwiązanieZnajdź macierz
taką, że:
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż układ równań:
.
Przeczytaj także:
- Definicja i rodziaje liniowych układów równań.
- Twierdzenie Cramera.
- Twierdzenie Kroneckera-Capellego
- Macierze - podstawowe definicje.
- Wyznacznik - definicja i własności.
- Obliczanie wartości wyznacznika (metoda Laplace'a)
COMMENT_CONTENT