Co to jest układ równań liniowych?

Definicja: Układ równań liniowych

Układem równań liniowych nazywamy układ  postaci:

\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}x_1&+ &a_{12}x_2&+ &\ldots& +&a_{1n}x_n &=&b_1 \\  a_{21}x_1&+ &a_{22}x_2&+& \ldots & +&a_{2n}x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+ &a_{m2}x_2&+& \ldots & +&a_{mn}x_n &=&b_m\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.

gdzie

a_{11},...,a_{mn} - są to współczynniki równania ( dane)

b_1,...,b_m - wyrazy wolne (dane)

x_1,...,x_n- niewiadome równania ( szukane)

 

Przykład 1

\left\{\begin{matrix} \begin{matrix} 2x_1&+&3x_2&+&8x_3=&9 \\  x_1&-&10x_2&-&4x_3=&15\\ -2x_1&-&x_2&+&2x_3=&16\end{matrix} \end{matrix}\right.

Rodzaje układów.

Definicja: Układ jednorodny i niejednorodny

Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zero. Zatem jest to układ postaci

\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}x_1&+ &a_{12}x_2&+& \ldots & +&a_{1n}x_n &=&0 \\  a_{21}x_1&+ &a_{22}x_2& & \ldots & +&a_{2n}x_n &=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+ &a_{m2}x_2&+& \ldots & +&a_{mn}x_n &=&0\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.

W przeciwnym wypadku,  ( czyli gdy wyrazy wolne są różne od zera), układ nazywamy niejednorodnym.

Przykład 2

Układ jednorodny

\left\{\begin{matrix} \begin{matrix} 2x&+&13y&+&8z=&0 \\  5x&-&y&-&6z=&0\\ -6x&-&y&+&z=&0\end{matrix} \end{matrix}\right.

Wszystkie wyrazy wolne są równe zero.

Przykład 3

Układ niejednorodny:

\left\{\begin{matrix} \begin{matrix} 2x&+&13y&+&8z=&0 \\  5x&-&y&-&6z=&0\\ -6x&-&y&+&z=&3\end{matrix} \end{matrix}\right.

Jeden z wyrazów wolnych jest różny od zera, zatem jest to układ niejednorodny.

 

Definicja: Układ nieoznaczony

Jeżeli układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań to nazywamy go nieoznaczonym.

 

Definicja: Układ oznaczony

Jeżeli układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie to nazywamy go oznaczonym.

 

Definicja: Układ sprzeczny

Jeżeli układ równań nie ma rozwiązania to nazywamy go sprzecznym.

Układ równań liniowych i macierze.

Układ równań liniowych możemy zapisać także w postaci macierzowej. Tworzymy kolejno:

  • macierz współczynników:

Spójrzmy na nasz układ równań:

\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} \mathbf{a_{11}}\ x_1&+ &\mathbf{a_{12}}\ x_2&+& \ldots & +&\mathbf{a_{1n}}\ x_n &=&b_1 \\  \mathbf{a_{21}}\ x_1&+ &\mathbf{a_{22}}\ x_2&+& \ldots & +&\mathbf{a_{2n}}\ x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \mathbf{a_{m1}}\ x_1&+ &\mathbf{a_{m2}}\ x_2&+& \ldots & +&\mathbf{a_{mn}}\  x_n &=&b_m\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.

Do macierzy wpisujemy kolejne współczynniki występujące w powyższym układzie:

 

 A=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{11}}&\mathbf{a_{12}}&...&\mathbf{a_{1n}}\\  \mathbf{a_{21}}&\mathbf{a_{22}}&...&\mathbf{a_{2n}}\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  \mathbf{a_{m1}}&\mathbf{a_{m2}}&...&\mathbf{a_{mn}}\end{bmatrix}

  • kolumnę wyrazów wolnych:

Przepisujemy kolejno wszystkie liczby znajdujące się po znaku =. Otrzymujemy w ten sposób:

B=\begin{bmatrix}b_1\\ b_2\\ ...\\ b_m \end{bmatrix}

  • kolumnę niewiadomych:

Naszymi niewiadomymi w układzie są x_1,...x_n. Z tych niewiadomych też tworzymy wektor:

X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{bmatrix}

 

Korzystając z powyższych oznaczeń, układ równań możemy zapisać w postaci macierzowej następująco:

 \begin{bmatrix}\mathbf{a_{11}}&\mathbf{a_{12}}&...&\mathbf{a_{1n}}\\ \mathbf{a_{21}}&\mathbf{a_{22}}&...&\mathbf{a_{2n}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \mathbf{a_{m1}}&\mathbf{a_{m2}}&...&\mathbf{a_{mn}}\end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_m\end{bmatrix}

Czyli:

A* X=B

 

Teraz zróbmy wszystko to samo jeszcze raz ale na przykładzie.

Przykład 4

Zapisz poniższy układ równań w postaci macierzowej:

\left\{\begin{matrix} \begin{matrix} 8x&+&y&+&2z=&4 \\  5x&-&3y&-&7z=&0\\ &-&5y&+&7z=&4\end{matrix} \end{matrix}\right.

W tym układzie niewiadomymi są x,y,z. Zatem wektor niewiadomych to:

X=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}

Współczynniki to liczby, które znajdują się przy niewiadomych. Wyznaczamy macierzy współczynników:

 

Tworzymy kolumnę wyrazów wolnych:

Zapisujemy układ w postaci macierzowej:

\begin{bmatrix}\begin{matrix}8&1&2 \\5&-3&-7\\0&-5&7\end{matrix}\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\0\\4\end{bmatrix}


Zadanie 1

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+2y=5\\3x+4y=6\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y=1\\2x+5y=2\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y+3z=0\\2x+y+4z=2\\2x+4z=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+4z=2\\x+2y+3z=6\\4x+3y=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}x-y+z=15\\2x-3y-z=-9\\5x-4y-7z=6\\4x-6y-5z=-1\end{matrix}\right..

 

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}4x-y-3z=-7\\x+3y-7z=-14\\5x-2y+4z=13\\x-y+z=2\end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-x-3y+5z=15\\3x+3y-4z=-13\\6x-y-z=-12\\4x-5y-z=-18\end{matrix}\right..

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Znajdź macierz X taką, że:

3X-2X^{T}=\begin{bmatrix}  1&1 \\ -1&4\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-2x-y-5z+4t=3\\-2x+3y+z-9t=2\\7x-y-8z+2t=-5\end{matrix}\right..

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-x-2y-2z+t=1\\-4x-y+3z-t=2\\x+y-z+t=-1\end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz