Drukuj

Co to jest macierz?

Formalna definicja macierzy to:

Definicja: Macierz
Macierzą nazywamy odwzorowanie

\{1,2,...,m\}\times\{1,2,...,n\} \ni (i,j)\rightarrow a_{ij} \in X,

gdzie:

m,n \in \mathbb{N}

X- zbiór ( elementami tego zbioru mogą być różne obiekty matematyczne, np. liczby, funkcje,...itd).

Macierze zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy, postaci:

 A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}

i oznaczamy dużymi literami. Wymiar macierzy to liczba wierszy i kolumn. Dla powyższej macierzy jest to m\times n.

Wielkości a_{ij} nazywamy elementami macierzy.

 

Ale tak naprawdę, to macierz utożsamia się z prostokątną tablicą, w której mamy umieszczone pewne elementy. ( W większości znanych Ci przypadków będą to liczby, ale mogą to być inne obiekty jak np. funkcje ). Macierze o szczególnych własnościach mają swoje nazwy. Poniżej przedstawione są właśnie takie szczególne macierze.

 

Definicja: Macierz kwadratowa

Jeżeli liczba kolumn i wierszy w macierzy są sobie równe, to macierz nazywamy kwadratową.

 

Definicja: Macierz diagonalna

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy poza przekątną (diagonalą)  są równe zero.

A_{n\times n}=\begin{bmatrix} a_{11}& 0 &...  &0 \\ 0&a_{22} &...&0 \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\0&0&...&a_{nn} \end{bmatrix}

Macierz diagonalną oznaczamy symbolem:

diag(a_{11},a_{22},...,a_{nn})

 

Przykład 1

A_{3\times 3}=diag(1,9,-20)=\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0&9 &0 \\0&0&-20 \end{bmatrix}

Definicja: Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową, która na przekątnej ma 1, a pozostałe elementy poza przekątną to 0, tzn.

 I_{n}=\begin{bmatrix} 1& 0 &...&0 \\ 0&1 &...&0 \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\ 0&0&...&1 \end{bmatrix}

 

Definicja: Macierz górnotrójkątna
Macierz górnotrójkątna to macierz, której elementy znajdujące się pod przekątną są równe zero. Jest to macierz postaci:

 A_{n\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...& a_{1n} \\0& a_{22} &...&a_{2n} \\ 0&0&\ddots & \vdots& \\ 0&0&0&a_{nn} \end{bmatrix}

Przykład 2

 A_{4\times 4}=\begin{bmatrix} 1&2 &5&1 \\ 0& 4&7&6 \\ 0& 0&6&3& \\0&0&0&4  \end{bmatrix}

 

Definicja: Macierz dolnotrójkątna

Macierz dolnotrójkątna to macierz, której elementy znajdujące się nad przekątną są równe zero. Jest to macierz postaci:

 A_{n\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} &0&0& 0 \\ a_{21}& a_{22} &0&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots &0 \\ a_{n1}&...&...&a_{nn} \end{bmatrix}

Przykład 3

 A_{4\times 4}=\begin{bmatrix} 1&0 &0&0 \\ 0& 4&0&0 \\ 4& 6&6&0 \\3&2&1&4  \end{bmatrix}

 

Definicja: Macierz transponowana

Macierz transponowana do macierzy A, to macierz A^T, która powstaje przez zamianę wierszy na kolumny.

Tzn.

 

Przykład 4

 A=\begin{bmatrix} 1&0&5\\ 0&4&0\\4&6&6\\3&2&1\end{bmatrix}    

A^T=\begin{bmatrix} 1&0 &4&3 \\ 0& 4&6 &2\\5& 0&6 &1\end{bmatrix}

Definicja: Macierz symetryczna

Macierz kwadratową A_{n \times n} nazywamy macierzą symetryczną jeżeli

A=A^T.

Przykład 5

  A=\begin{bmatrix} 1&0 &5 \\ 0& 4&6\\ 5& 6&8 \\ \end{bmatrix}

 

Definicja: Macierz ortogonalna

Macierzą ortogonalną nazywamy macierz kwadratową  A_{n\times n} spełniającą równość:

A* A^T=A^T * A=I_n

gdzie:

I_n- oznacza macierz jednostkową

A^T- macierz transponowana względem macierzy A

Dopełnienie algebraiczne

Daną mamy taką macierz A:

 A_{n \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &...&a_{2n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix}.

Dla każdego elementu a_{ij} macierzy kwadratowej, możemy wyznaczyć dopełnienie algebraiczne tego elementu. Takie dopełnienie algebraiczne będziemy oznaczać przez A_{ij} i obliczamy je następująco:

 

A_{ij}=(-1)^{i+j}* M_{ij}

gdzie:

M_{ij} jest to wyznacznik, który powstaje przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A.

Macierz, do której zostały wpisane wszystkie dopełnienia algebraiczne elementów danej macierzy A, nazywamy macierzą dopełnień.

A_{dop}={n \times n}=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&...&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&...&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\A_{n1}&A_{n2}&...&A_{nn} \end{bmatrix}.

Żeby to wszystko nie wyglądało tak abstrakcyjnie, to spójrz na przykład poniżej:

 

Przykład 6

Dana jest macierz

A=\begin{bmatrix}1&2&4\\ 1&0&2\\ 2&3&1 \end{bmatrix}.

Naszym zadaniem jest znalezienie dopełnień algebraicznych wszystkich elementów i zestawienie ich w macierzy dopełnień. Elementów tej macierzy mamy 9, więc musimy znaleźć tyle samo dopełnień algebraicznych. Są to kolejno:

  • A_{11}=(-1)^{1+1}* M_{11}=M_{11}=0* 1-2* 3=-6

 

  • A_{12}=(-1)^{1+2}* M_{12}=- M_{12}=-(* 1-2* 2)=3

 

 

  • A_{13}=(-1)^{1+3}* M_{13}=M_{13}=1* 3-0* 2=3

 

 

  • A_{21}=(-1)^{2+1}* M_{21}=-M_{21}=-(2* 1-4* 3)=10

 

  • A_{22}=(-1)^{2+2}* M_{22}=M_{22}=1* 1-4* 2=-7

 

  • A_{23}=(-1)^{2+3}* M_{23}=-M_{23}=-(1* 3-2* 2)=1

 

  • A_{31}=(-1)^{3+1}* M_{31}=M_{31}=2* 2-4* 0=4

 

  • A_{32}=(-1)^{3+2}* M_{32}=-M_{32}=-(1* 2-4* 1)=2

 

  • A_{33}=(-1)^{3+3}* M_{33}=M_{33}=1* 0-2* 1=-2

 

 Zatem macierz dopełnień to:

A_{dop}=\begin{bmatrix}-6&3&3\\10&-7&1\\4&2&-2\end{bmatrix}


Zadanie 1

Znajdź macierz C=A^{-1}* B^{T}, gdzie

A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 3&3 \\ 1&1 \end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Znajdź macierz B, gdzie

\begin{bmatrix} 3&4 \\ 1&7\end{bmatrix} * B =\begin{bmatrix} 23&22 \\ 19&13 \end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz A * B^{T}, gdzie

A=\begin{bmatrix}3&4\\1&7\\4&3\end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}5&6\\2&1\\5&6\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz A^{-1}, jeżeli

A=\begin{bmatrix}3&4&3\\ 0&1&7\\4&1&2\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz rząd macierzy A, jeżeli

A=\begin{bmatrix}3&4&-3&1\\ 0&7&0&2\\4&3&-4&3\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+2y=5\\3x+4y=6\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y+3z=0\\2x+y+4z=2\\2x+4z=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Oblicz rząd macierzy A, jeżeli

A=\begin{bmatrix}2&0&10&2\\ 6&3&0&2\\1&0&5&1\\1&1&0&1\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix} x+5y-3z=10\\x-3y+z=5 \end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Znajdź macierz X taką, że:

3X-2X^{T}=\begin{bmatrix}  1&1 \\ -1&4\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz