Macierze - podstawowe definicje.

Drukuj

Co to jest macierz?

Formalna definicja macierzy to:

Definicja: Macierz

Macierzą nazywamy odwzorowanie

$\{1,2,...,m\}\times\{1,2,...,n\} \ni (i,j)\rightarrow a_{ij} \in X$ ,

gdzie:

$m,n \in \mathbb{N}$

$X$ - zbiór ( elementami tego zbioru mogą być różne obiekty matematyczne, np. liczby, funkcje,...itd).

Macierze zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy, postaci:

$A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}$

i oznaczamy dużymi literami. Wymiar macierzy to liczba wierszy i kolumn. Dla powyższej macierzy jest to $m\times n$ .

Wielkości $a_{ij}$ nazywamy elementami macierzy.

Ale tak naprawdę, to macierz utożsamia się z prostokątną tablicą, w której mamy umieszczone pewne elementy. ( W większości znanych Ci przypadków będą to liczby, ale mogą to być inne obiekty jak np. funkcje ). Macierze o szczególnych własnościach mają swoje nazwy. Poniżej przedstawione są właśnie takie szczególne macierze.

Definicja: Macierz kwadratowa

Jeżeli liczba kolumn i wierszy w macierzy są sobie równe, to macierz nazywamy kwadratową.

Definicja: Macierz diagonalna

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy poza przekątną (diagonalą) są równe zero.

$A_{n\times n}=\begin{bmatrix} a_{11}& 0 &... &0 \\ 0&a_{22} &...&0 \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\0&0&...&a_{nn} \end{bmatrix}$

Macierz diagonalną oznaczamy symbolem:

$diag(a_{11},a_{22},...,a_{nn})$

Przykład 1

$A_{3\times 3}=diag(1,9,-20)=\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0&9 &0 \\0&0&-20 \end{bmatrix}$

Definicja: Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową, która na przekątnej ma $1$ , a pozostałe elementy poza przekątną to $0$ , tzn.

$I_{n}=\begin{bmatrix} 1& 0 &...&0 \\ 0&1 &...&0 \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\ 0&0&...&1 \end{bmatrix}$

Definicja: Macierz górnotrójkątna

Macierz górnotrójkątna to macierz, której elementy znajdujące się pod przekątną są równe zero. Jest to macierz postaci:

$A_{n\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...& a_{1n} \\0& a_{22} &...&a_{2n} \\ 0&0&\ddots & \vdots& \\ 0&0&0&a_{nn} \end{bmatrix}$

Przykład 2

$A_{4\times 4}=\begin{bmatrix} 1&2 &5&1 \\ 0& 4&7&6 \\ 0& 0&6&3& \\0&0&0&4 \end{bmatrix}$

Definicja: Macierz dolnotrójkątna

Macierz dolnotrójkątna to macierz, której elementy znajdujące się nad przekątną są równe zero. Jest to macierz postaci:

$A_{n\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} &0&0& 0 \\ a_{21}& a_{22} &0&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots &0 \\ a_{n1}&...&...&a_{nn} \end{bmatrix}$

Przykład 3

$A_{4\times 4}=\begin{bmatrix} 1&0 &0&0 \\ 0& 4&0&0 \\ 4& 6&6&0 \\3&2&1&4 \end{bmatrix}$

Definicja: Macierz transponowana

Macierz transponowana do macierzy $A$ , to macierz $A^T$ , która powstaje przez zamianę wierszy na kolumny.

Tzn.

Przykład 4

$A=\begin{bmatrix} 1&0&5\\ 0&4&0\\4&6&6\\3&2&1\end{bmatrix}$

$A^T=\begin{bmatrix} 1&0 &4&3 \\ 0& 4&6 &2\\5& 0&6 &1\end{bmatrix}$

Definicja: Macierz symetryczna

Macierz kwadratową $A_{n \times n}$ nazywamy macierzą symetryczną jeżeli

$A=A^T$ .

Przykład 5

$A=\begin{bmatrix} 1&0 &5 \\ 0& 4&6\\ 5& 6&8 \\ \end{bmatrix}$

Definicja: Macierz ortogonalna

Macierzą ortogonalną nazywamy macierz kwadratową $A_{n\times n}$ spełniającą równość:

$A* A^T=A^T * A=I_n$

gdzie:

$I_n$ - oznacza macierz jednostkową

$A^T$ - macierz transponowana względem macierzy $A$

Dopełnienie algebraiczne

Daną mamy taką macierz $A$ :

$A_{n \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &...&a_{2n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix}$ .

Dla każdego elementu $a_{ij}$ macierzy kwadratowej, możemy wyznaczyć dopełnienie algebraiczne tego elementu. Takie dopełnienie algebraiczne będziemy oznaczać przez $A_{ij}$ i obliczamy je następująco:

$A_{ij}=(-1)^{i+j}* M_{ij}$

gdzie:

$M_{ij}$ jest to wyznacznik, który powstaje przez skreślenie $i$ -tego wiersza i $j$ -tej kolumny macierzy $A$ .

Macierz, do której zostały wpisane wszystkie dopełnienia algebraiczne elementów danej macierzy $A$ , nazywamy macierzą dopełnień.

$A_{dop}={n \times n}=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&...&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&...&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\A_{n1}&A_{n2}&...&A_{nn} \end{bmatrix}$ .

Żeby to wszystko nie wyglądało tak abstrakcyjnie, to spójrz na przykład poniżej:

Przykład 6

Dana jest macierz

$A=\begin{bmatrix}1&2&4\\ 1&0&2\\ 2&3&1 \end{bmatrix}$ .

Naszym zadaniem jest znalezienie dopełnień algebraicznych wszystkich elementów i zestawienie ich w macierzy dopełnień. Elementów tej macierzy mamy $9$ , więc musimy znaleźć tyle samo dopełnień algebraicznych. Są to kolejno: