Obliczanie wartości wyznaczników wyższych rzędów - Metoda Laplace'a

Wyznaczniki możemy obliczać dla macierzy kwadratowych dowolnego wymiaru. Mamy daną taką macierz:

 A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21} &a_{22}&...&a_{2n}\\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{n1} &a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix}

Wyznacznik ten macierzy, metodą Laplace'a obliczamy za pomocą wzoru rekurencyjnego. Sprowadza się to do obliczania wyznaczników coraz niższych rzędów.

Ogólny wzór to:

det A=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21} &a_{22}&...&a_{2n}\\ \ldots& \ldots & \ldots &\ldots\\ a_{n1} &a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}* det A_{ij}

gdzie

i- jest ustalone, jest to numer wiersza względem którego rozwijamy dany wyznacznik

A_{ij} - to dopełnienie algebraiczne elementu a_{ij} ( Czyli wyznacznik powstały przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny w macierzy A pomnożony przez (-1)^{i+j} ).

 

Za dużo literek? To teraz przedstawimy to na cyferkach, żeby łatwiej to było zrozumieć. Na początek obliczymy wyznacznik stopnia trzeciego, żeby lepiej zrozumieć metodę, a później jakiś wyznacznik czwartego stopnia. Dla wyższych stopni oblicza się to analogicznie i myślę, że nie będzie konieczne dopisywanie kolejnego przykładu.

Przykład 1

Oblicz wyznacznik

\begin{vmatrix}1&3&4\\ 0&3&0\\2&-2&-3 \end{vmatrix}.

Na początek zanim przejdziemy do liczenia, musimy wyznaczyć dopełnienia algebraiczne dla każdego elementu  wiersza, względem którego będziemy ten wyznacznik rozwijać.

UWAGA!

Zawsze wybieramy wiersz, gdzie znajduje się najwięcej zer, bardzo to skraca liczenie ;) !

Zgodnie z powyższą uwagą , wybieramy drugi wiersz. Czyli musimy wyznaczyć dopełnienia algebraiczne dla elementów a_{21}=0, a_{22}=3, a_{23}=0. No to zaczynamy:

  • a_{21}=0

Skreślamy drugi wiersz i pierwszą  kolumnę ( ponieważ w drugim wierszu i w pierwszej kolumnie znajduje się nasza liczba, której szukamy dopełnienia algebraicznego ):

Powstały wyznacznik mnożymy przez (-1)^{2+1} i w ten sposób otrzymujemy dopełnienie algebraiczne elementu a_{21}:

A_{21}=(-1)^{2+1}* \begin{vmatrix}3&4\\-2&-3\end{vmatrix}

  • a_{22}=3

Skreślamy drugi wiersz i drugą  kolumnę:

Powstały wyznacznik mnożymy przez (-1)^{2+2} i w ten sposób otrzymujemy dopełnienie algebraiczne elementu a_{22}:

A_{22}=(-1)^{2+2}* \begin{vmatrix}1&4\\2&-3\end{vmatrix}

  • a_{23}=0

Skreślamy drugi wiersz i trzecią  kolumnę:

Powstały wyznacznik mnożymy przez (-1)^{2+3} i w ten sposób otrzymujemy dopełnienie algebraiczne elementu a_{23}:

A_{23}=(-1)^{2+3} * \begin{vmatrix}1&3\\2&-2\end{vmatrix}

 

Mając już wyznaczone dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów drugiego wiersza, możemy nasz wyznacznik stopnia trzeciego rozwinąć względem tego wiersza. Mnożymy teraz kolejne elementy wiersza względem którego rozwijamy nasz wyznacznik, przez ich dopełnienia algebraiczne, i te iloczyny dodajemy. Ogólny wzór wygląda tak:

 \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}* A_{21}+{a_{22}* A_{22}+a_{23} * A_{23}}

Czyli podstawiając nasze liczby otrzymujemy:

\begin{vmatrix}1&3&4\\ \textbf{0}&\textbf{3}&\textbf{0}\\2&-2&-3\end{vmatrix}=

\textbf{0}* (-1)^{2+1}* \begin{vmatrix}3&4\\-2&-3 \end{vmatrix}+\textbf{3}* (-1)^{2+2}* \begin{vmatrix}1&4\\2&-3 \end{vmatrix}+\textbf{0}* (-1)^{2+3} * \begin{vmatrix}1&3\\2&-2 \end{vmatrix}=

 

Te wyznaczniki, które mnożymy przez 0 od razu możemy pominąć, ponieważ po przemnożeniu wartość iloczynu będzie równa zero. Zatem zostaje nam do policzenia tylko jeden wyznacznik stopnia drugiego:

 =\textbf{3} * (-1)^{2+2} * \begin{vmatrix} 1&4\\ 2&-3 \end{vmatrix}=3* [1* (-3)-4* 2]=3* (-3-8)=

3* (-11)=-33

 

Przykład 2

Oblicz wyznacznik

\begin{vmatrix}4& 2&-5&8\\1&1&-2&0\\4&0&0&0\\3&-1&-2&4\\ \end{vmatrix}.

 Tak jak we wcześniejszym przykładzie będziemy rozwijać ten wyznacznik względem trzeciego wiersza, ze względu na to, że tam jest najwięcej zer.

\begin{vmatrix}4& 2&-5&8\\ 1&1&-2&0 \\ 4&0&0&0\\3&-1&-2&4\\ \end{vmatrix}=4* (-1)^{3+1}* \begin{vmatrix}2&-5&8\\ 1&-2&0 \\-1&-2&4\\ \end{vmatrix}+0* (-1)^{3+2}*\begin{vmatrix}4&-5&8\\1&-2&0\\ 3&-2&4\\ \end{vmatrix}

+0* (-1)^{3+3}* \begin{vmatrix}4& 2&8\\ 1&1&0\\3&-1&4\\ \end{vmatrix} +0* (-1)^{3+4}* \begin{vmatrix}4& 2&-5\\ 1&1&-2 \\3&-1&-2\\ \end{vmatrix}=

4* \begin{vmatrix}2&-5&8\\ 1&-2&0 \\-1&-2&4\\ \end{vmatrix}=...

Pozostał nam do obliczenia jeden wyznacznik trzeciego stopnia (pozostałe iloczyny się wyzerowały). Ten wyznacznik możemy dalej rozwinąć zgodnie z metodą Laplace'a. W drugim wierszu mamy zero, ale wykorzystując własności wyznaczników, możemy go tak przekształcić, aby otrzymać jeszcze jedno zero w tym wierszu. W tym celu do drugiej kolumny tego wyznacznika, dodamy podwojoną wartość pierwszej kolumny:

...4* \begin{vmatrix}2&-5+4&8\\ 1&-2 +2 &0\\-1&-2+(-2)&4\\ \end{vmatrix}=4* \begin{vmatrix}2&-1&8\\ 1&0&0\\-1&-4&4\\ \end{vmatrix}=....

Teraz w drugim wierszu mamy już dwa zera, więc łatwo będzie policzyć wartość tego wyznacznika. Rozwijamy go względem drugiego wiersza:

...4* \left[1* (-1)^{2+1} * \begin{vmatrix}-1&8\\-4&4 \end{vmatrix}+0* (-1)^{2+2}* \begin{vmatrix}2&8\\-1&4 \end{vmatrix} +\right.

\left. 0 * (-1)^{2+3} *\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-4 \end{vmatrix}\right] =...

Tam gdzie mamy zera, to oczywiście szybko licząc w iloczynie otrzymamy zero. Pozostaje do policzenia jeden wyznacznik stopnia drugiego. Mamy zatem:

...4* (-1)*\begin{vmatrix} -1&8\\-4&4\end{vmatrix}=-4* [(-1)* 4-8*(-4)]=-4* (-4+32)=

-4* 28=-112


Zadanie 1

Znajdź macierz C=A^{-1}* B^{T}, gdzie

A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 3&3 \\ 1&1 \end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Znajdź macierz B, gdzie

\begin{bmatrix} 3&4 \\ 1&7\end{bmatrix} * B =\begin{bmatrix} 23&22 \\ 19&13 \end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz A * B^{T}, gdzie

A=\begin{bmatrix}3&4\\1&7\\4&3\end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}5&6\\2&1\\5&6\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz A^{-1}, jeżeli

A=\begin{bmatrix}3&4&3\\ 0&1&7\\4&1&2\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz rząd macierzy A, jeżeli

A=\begin{bmatrix}3&4&-3&1\\ 0&7&0&2\\4&3&-4&3\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz wyznacznik metodą Laplace'a:

\begin{vmatrix}1&0&4&4\\ 1&2&3&4\\ 2&4&3&4\\ 2&2&0&1\end{vmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Oblicz wyznacznik metodą Laplace'a:

\begin{vmatrix}2&0&3&4\\ 6&3&0&2\\ 1&1&5&1\\ 1&1&0&1\end{vmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Oblicz rząd macierzy A, jeżeli

A=\begin{bmatrix}2&0&10&2\\ 6&3&0&2\\1&0&5&1\\1&1&0&1\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}x-y+z=15\\2x-3y-z=-9\\5x-4y-7z=6\\4x-6y-5z=-1\end{matrix}\right..

 

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}4x-y-3z=-7\\x+3y-7z=-14\\5x-2y+4z=13\\x-y+z=2\end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-x-3y+5z=15\\3x+3y-4z=-13\\6x-y-z=-12\\4x-5y-z=-18\end{matrix}\right..

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Zbadaj liniową niezależność wektorów [1,2,3],[3,4,5],[4,3,2].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Zbadaj dla  jakich wartości parametru a\in\mathbb{R} wektory [1-3,a],[2,a,4],[1,5,-1] tworzą bazę przestrzeni \mathbb{R}^3.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz