Wyznacznik - definicja i własności.

Co to jest wyznacznik?

Wyznacznik, jest to pewna liczba, którą przyporządkowujemy każdej macierzy kwadratowej. Oczywiście wiele macierzy może mieć przyporządkowaną taką samą liczbę.

Nie będę tutaj formalnej definicji wyznacznika przytaczać, bo pewnie tylko studenci matematyki są ją w stanie zrozumieć, ale za to przedstawię Ci jak taki wyznacznik obliczyć. To jest najważniejsza rzecz jaką musisz umieć. Wyznaczniki oznaczamy dwoma pionowymi kreskami.

Wyznacznik stopnia 1

$|a|=a$

Przykład 1

$|-3|=-3$

$|9|=9$

Wyznacznik stopnia 2

No to teraz przejdziemy do trochę bardziej zaawansowanych obliczeń... do wyznaczników macierzy wymiaru $2\times 2$ .

Taki wyznacznik obliczamy następująco:

$\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}=a* d-b* c$

Przykład 2

Mamy taką macierz:

$B=\begin{bmatrix}1&7 \\ -4&-2 \end{bmatrix}$

Obliczamy jej wyznacznik:

Wyznacznik macierzy 3x3

A teraz wyznaczniki macierzy $3\times 3$ . Tutaj już będzie trochę więcej liczenia.

Ogólny wzór na wyznacznik stopnia trzeciego jest taki:

$\begin{vmatrix}a_1&a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1&c_2& c_3\end{vmatrix}=a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 - b_1 a_2 c_3+b_1 a_3 c_2+c_1 a_2 b_3-c_1 a_3 b_2$

Tego wzoru to nie polecam uczyć się na pamięć :). Poniżej przykład jak liczyć takie wyznaczniki bez pamiętania tego wzoru.

Przykład 3

Oblicz wyznacznik macierzy:

$A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ 3&0&-4\\2&3&5\end{bmatrix}$

Aby obliczyć wyznacznik tej macierzy, najpierw pomocniczo pod wyznacznikiem, jeszcze raz przepisujemy pierwszy i drugi wiersz tej macierzy. Tak jak poniżej:

No to teraz tak.. Pierwsza część obliczania wyznacznika to:

Przechodzimy do drugiej części.

Po wykonaniu tych wszystkich działań otrzymujemy, że wyznacznik macierzy $A$ jest równy:

$detA=\begin{vmatrix}1&-1&2\\3&0&-4 \\ 2&3&5\end{vmatrix}=1* 0* 5+3* 3* 2+2* (-1)* (-4)$

$-2* 0* 2-(-4)* 3* 1-5* (-1)* 3=53$

Własności wyznaczników.

Wyznaczniki mają kilka ciekawych własności o których warto pamiętać! Dlaczego warto? Bo czasem może Ci to zaoszczędzić dużo czasu podczas liczenia...

Jeżeli wyznacznik ma dwa takie same wiersze, lub dwie takie same kolumny to jest on równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do elementów jednego wiersza (lub kolumny) dodamy lub odejmiemy dowolną kombinację liniową innych wierszy lub kolumn to wartość wyznacznika nie zmieni się.

Pewnie zapytasz: "Czyli o co chodzi?" Już tłumaczę. Mamy np. taki wyznacznik:

$\begin{vmatrix} 1&1&2 \\ 0&-1&3\\ -2&2&-6 \end{vmatrix}$

Aby dokładnie zapisać działania jakie będziemy wykonywać, będziemy oznaczać wiersze literą $w$ . Tzn. wiersz pierwszy będziemy oznaczać $w_1$ , wiersz drugi $w_2$ i wiersz trzeci $w_3$ .

Weźmy dla przykładu drugi wiersz. Jeżeli chcemy zamienić wiersz drugi w taki sposób, aby wyznacznik dalej pozostał taki sam, to do drugiego wiersza możemy dodać lub odjąć:

1) inny wiersz ( np. pierwszy lub trzeci )

Do drugiego wiersza dodamy wiersz trzeci:

Wykonujemy przekształcenie:

$w_2'=w_2+w_3$

Zamiast dodawania możemy też wykonać odejmowanie, jak poniżej:

$w_2'=w_2-w_1$

$\begin{vmatrix} 1&1&2\\ 0&-1&3\\-2&2&-6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&2\\ 0-\textbf{1}&-1-\textbf{1}&3-\textbf{2}\\-2&2&-6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&1&2\\-1&-2 &1\\ -2&2&-6 \end{vmatrix}$

2) inny wiersz pomnożony przez pewną liczbę, np.:

$w_2'=w_2-2w_1$

3) inne wiersze pomnożone przez pewne liczby, np.:

Do drugiego wiersza dodamy wiersz pierwszy pomnożony razy dwa i jednocześnie odejmiemy wiersz trzeci pomnożony razy trzy.

$w_2'=w_2+2w_1-3w_3$

Zamiana kolejnością dwóch wierszy lub kolumn, powoduje, że wartość wyznacznika zmienia się na przeciwną.
Jeżeli wiersz lub kolumnę wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę, to wartość wyznacznika też zostanie pomnożona przez tą liczbę.

UWAGA!

Pamiętaj, że te same operacje co na wierszach, możemy wykonywać na kolumnach wyznacznika!

Oceń czy równości są prawdziwe.

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Minory.

Jeszcze jednym pojęciem, które należy tutaj przytoczyć jest minor. Minor jest to taki podwyznacznik macierzy lub innego wyznacznika. Powstaje on, jeżeli w macierzy ( lub wyznaczniku) skreślimy pewną ilość kolumn i wierszy, a z pozostałych elementów zbudujemy wyznacznik.

Tak jak poniżej:

Dana jest macierz

$A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&2&1\\3&4&5 \end{bmatrix}$ .