Drukuj

Po co nam Twierdzenie Kroneckera-Capellego?

To twierdzenie jest nam pomocne przy określaniu liczby rozwiązań układu równań liniowych. W przeciwieństwie do Twierdzenia Cramera, tutaj układ równań może być dowolny (tzn. liczba równań i niewiadomych nie muszą być sobie równe).  Czyli będziemy tutaj rozważać układy równań postaci:

\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}\ x_1&+ &a_{12}\ x_2&+& \ldots & +&a_{1n}\ x_n &=&b_1\\ a_{21}\ x_1&+ &a_{22}\ x_2&+&\ldots & +&a_{2n}\ x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\ x_1&+&a_{m2}\ x_2&+& \ldots & +&a_{mn}\ x_n &=&b_m\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.

gdzie

a_{11},...,a_{mn} - są to współczynniki równania ( dane)

b_1,...,b_m - wyrazy wolne (dane)

x_1,...,x_n- niewiadome równania ( szukane)

To twierdzenie, nie daje nam gotowych wzorów jak wyznaczyć rozwiązania. Na jego podstawie, możemy tylko ocenić liczbę rozwiązań.

Zanim przejdziemy do Twierdzenia Kroneckera-Capellego, musimy wprowadzić pojęcie macierzy uzupełnionej układu.

Definicja: Macierz uzupełniona układu równań liniowych

Jest to taka macierz, która zawiera wszystkie współczynniki układu, a jej ostatnią kolumną są wyrazy wolne tego układu.

 

 Czyli:

 

 

  U=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...& a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_m \end{bmatrix}

Przypomnijmy jeszcze, że macierz A postaci:

  A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}& a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m1} & a_{m2} &...& a_{mn} \end{bmatrix}

jest macierzą współczynników układu równań liniowych.

Teraz możemy wreszcie przejść do twierdzenia:

Twierdzenie: Kroneckera-Capellego

 Układ równań liniowych postaci

\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}\ x_1&+ &a_{12}\ x_2&+& \ldots & +&a_{1n}\ x_n &=&b_1 \\  a_{21}\ x_1&+ &a_{22}\ x_2&+& \ldots & +&a_{2n}\ x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\ x_1&+ &a_{m2}\ x_2&+& \ldots & +&a_{mn}\ x_n &=&b_m\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.

posiada przynajmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

\text{rzA}=\text{rzU},

Tzn. rząd macierzy współczynników i rząd macierzy uzupełnionej układu są sobie równe.

Ponadto, jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:

r=\text{rzA=rzU},

n -liczba niewiadomych,

m - liczba równań,

to gdy

  • r=n - układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
  • r<n - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n-r parametrów.
Wniosek 

Z tego twierdzenia możemy szybko wysunąć wniosek:

Jeżeli \text{rzA} \neq \text{rzU},to układ jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań).

 

Teraz przejdziemy do przykładu, nawet kilku przykładów.

Przykład 1

Określ liczbę rozwiązań układu równań postaci:

 \left\{\begin{matrix} 2\ x&+&4\ y&+&z&=&7 \\x&+&y&+&z&=&10 \\  4\ x&+&y&+&7\ z&=&12  \end{matrix}\right.

Niewiadome w tym układzie to x,y,z. Zatem liczba niewiadomych to:

n=3

Rozpoczynamy od wyznaczenia macierzy współczynników oraz macierzy uzupełnionej.

Macierz  A współczynników układu:

Macierz uzupełniona układu ( jest to macierz współczynników z dołączoną kolumną wyrazów wolnych):

Obliczamy rzędy obu macierzy:

Przypominamy, że rząd macierzy jest to wymiar największego niezerowego minoru wyjętego z macierzy.

  • Rząd macierzy A.

Najpierw sprawdzamy wyznacznik macierzy A ( największy minor wyjęty z macierzy A ): 

  det A=\begin{vmatrix} 2&4&1 \\1&1&1 \\  4&1&7  \end{vmatrix}=-3\neq 0

Wyznacznik jest niezerowy, dlatego rząd macierzy A wynosi 3 ( taki był wymiar wyznacznika 3\times 3 ).

rzA=3

Ponieważ rząd macierzy współczynników jest największy z możliwych, to rząd macierzy uzupełnionej również wynosi 3. ( Z macierzy uzupełnionej możemy wyciągnąć minor, który jest równy wyznacznikowi macierzy A ). Zatem:

rzU=3 

Otrzymaliśmy, że

rzA=rzU=3

oraz

n=3


Zgodnie z Twierdzeniem Kroneckera-Capellego rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie ( liczba niewiadomych = rząd macierzy współczynników = rząd macierzy uzupełnionej). Możemy ten układ rozwiązać np. stosując wzory Cramera. Otrzymamy wówczas, że:

\left\{\begin{matrix} x=64\\ y=-\cfrac{67}{3}\\ z=-\cfrac{95}{3} \end{matrix}\right.

 

Przykład 2

Określ liczbę rozwiązań układu równań postaci:

 \left\{\begin{matrix} x&+&y&+&3\ z&=&10 \\2\ x&+&2\ y&+&6\ z&=&20\\ 4\ x&+&y&+&7\ z&=&12 \end{matrix}\right.

Niewiadome w tym układzie to x,y,z. Zatem liczba niewiadomych to:

n=3

Rozpoczynamy od wyznaczenia macierzy współczynników oraz macierzy uzupełnionej.

Macierz  A - współczynników układu:

  A=\begin{bmatrix} 1&1&3 \\2&2&6 \\ 4&1&7 \end{bmatrix}

Macierz  U - uzupełniona układu:

U=\begin{bmatrix} 1&1&3&10\\2&2&6&20\\ 4&1&7&12 \end{bmatrix}

 Obliczamy rzędy obu macierzy:

  • Rząd macierzy współczynników A:

Sprawdzamy największy minor ( wyznacznik macierzy A):

  detA=\begin{vmatrix} 1&1&3 \\2&2&6 \\  4&1&7  \end{vmatrix}=0

Ponieważ otrzymaliśmy wyznacznik równy zero, oznacza to, że rząd macierzy A na pewno jest mniejszy od 3. Sprawdzamy kolejne minory mniejszego wymiaru ( 2):

  M_{1}=\begin{vmatrix}2&6 \\ 1&7  \end{vmatrix}=2* 7-6*1=14-6=8 \neq 0

Zatem rząd macierzy A wynosi 2.

rzA=2

  •  Obliczamy rząd macierzy uzupełnionej. Sprawdzamy kolejne minory wymiaru 3, wyjęte z macierzy U:

 

m_1=\begin{vmatrix} 1&3& 10\\2&6& 20\\  1&7 &12 \end{vmatrix}=0

Sprawdzamy kolejny minor rzędu 3:

 

m_2=\begin{vmatrix} 1&3& 10\\2&6& 20\\  4&7 &12 \end{vmatrix}=0

Ostatni minor rzędu 3, to:

m_3=\begin{vmatrix} 1&1& 10\\2&2& 20\\  4&1 &12 \end{vmatrix}=0

Sprawdziliśmy wszystkie minory wymiaru 3 wyjęte z macierzy U. Wszystkie te minory są równe zero, dlatego rząd macierzy U jest mniejszy od 3. Ponieważ:

m_4=\begin{vmatrix}2&6\\  1 &7 \end{vmatrix}=2* 7 -6* 1=14-6=8\neq 0

to rząd macierzy U wynosi 2.

rzU=2

Czyli:

rzA=rzU=2

oraz

n=3


Rząd macierzy współczynników i macierzy uzupełnionej są równe i wynoszą r=2, ale liczba niewiadomych to 3, zatem zgodnie z Twierdzeniem Kroneckera-Capellego układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (n-r=3-2=1 ).

 

Przykład 3

Określ liczbę rozwiązań układu równań postaci:

 

 \left\{\begin{matrix} 2\ x&+&6\ y&+&4\ z&=&5 \\x&+&3\ y&+&2\ z&=&3 \\  5\ x&+&3\ y&+&7\ z&=&2 \end{matrix}\right.

Niewiadome w tym układzie to x,y,z. Zatem liczba niewiadomych to:

n=3

Rozpoczynamy od wyznaczenia macierzy współczynników oraz macierzy uzupełnionej.

Macierz  A - współczynników układu:

  A=\begin{bmatrix} 2&6&4 \\ 1&3&2 \\  5&3&7  \end{bmatrix}

Macierz  U - uzupełniona układu:

 

  U=\begin{bmatrix} 2&6&4&5 \\ 1&3&2&3 \\  5&3&7&2  \end{bmatrix}

Obliczamy rzędy obu macierzy.

  • Rząd macierzy współczynników A:

Sprawdzamy największy minor ( wyznacznik macierzy A):

  detA=\begin{vmatrix} 2&6&4 \\1&3&2 \\  5&3&7  \end{vmatrix}=0

Ponieważ otrzymaliśmy wyznacznik równy zero, oznacza to, że rząd macierzy A na pewno jest mniejszy od 3. Sprawdzamy kolejne minory mniejszego wymiaru ( 2):

M_1=\begin{vmatrix}1&3 \\  5&3  \end{vmatrix}=1* 3-3*5=3-15=-12

Znaleźliśmy niezerowy minor wymiaru 2. Oznacza to, że rząd macierzy współczynników wynosi 2.

rzA=2.

  •  Obliczamy rząd macierzy uzupełnionej. Sprawdzamy kolejne minory wymiaru 3, wyjęte z macierzy U:

m_1=\begin{vmatrix} 6&4&5 \\ 3&2&3 \\  3&7&2  \end{vmatrix}=-15

Otrzymaliśmy niezerowy minor wymiaru 3. Oznacza to, że rząd macierzy uzupełnionej wynosi 3.


Zatem rozważany układ równań nie ma rozwiązań.


Zadanie 1

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix} x+5y-3z=10\\x-3y+z=5 \end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}x-y+z=15\\2x-3y-z=-9\\5x-4y-7z=6\\4x-6y-5z=-1\end{matrix}\right..

 

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}4x-y-3z=-7\\x+3y-7z=-14\\5x-2y+4z=13\\x-y+z=2\end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-x-3y+5z=15\\3x+3y-4z=-13\\6x-y-z=-12\\4x-5y-z=-18\end{matrix}\right..

 

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz