Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Po co nam Twierdzenie Kroneckera-Capellego?

To twierdzenie jest nam pomocne przy określaniu liczby rozwiązań układu równań liniowych. W przeciwieństwie do Twierdzenia Cramera, tutaj układ równań może być dowolny (tzn. liczba równań i niewiadomych nie muszą być sobie równe). Czyli będziemy tutaj rozważać układy równań postaci:

$\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}\ x_1&+ &a_{12}\ x_2&+& \ldots & +&a_{1n}\ x_n &=&b_1\\ a_{21}\ x_1&+ &a_{22}\ x_2&+&\ldots & +&a_{2n}\ x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\ x_1&+&a_{m2}\ x_2&+& \ldots & +&a_{mn}\ x_n &=&b_m\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.$

gdzie

$a_{11},...,a_{mn}$ - są to współczynniki równania ( dane)

$b_1,...,b_m$ - wyrazy wolne (dane)

$x_1,...,x_n$ - niewiadome równania ( szukane)

To twierdzenie, nie daje nam gotowych wzorów jak wyznaczyć rozwiązania. Na jego podstawie, możemy tylko ocenić liczbę rozwiązań.

Zanim przejdziemy do Twierdzenia Kroneckera-Capellego, musimy wprowadzić pojęcie macierzy uzupełnionej układu.

Definicja: Macierz uzupełniona układu równań liniowych

Jest to taka macierz, która zawiera wszystkie współczynniki układu, a jej ostatnią kolumną są wyrazy wolne tego układu.

Czyli:

$U=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...& a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_m \end{bmatrix}$

Przypomnijmy jeszcze, że macierz $A$ postaci:

$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}& a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m1} & a_{m2} &...& a_{mn} \end{bmatrix}$

jest macierzą współczynników układu równań liniowych.

Teraz możemy wreszcie przejść do twierdzenia:

Twierdzenie: Kroneckera-Capellego

Układ równań liniowych postaci

$\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}\ x_1&+ &a_{12}\ x_2&+& \ldots & +&a_{1n}\ x_n &=&b_1 \\ a_{21}\ x_1&+ &a_{22}\ x_2&+& \ldots & +&a_{2n}\ x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\ x_1&+ &a_{m2}\ x_2&+& \ldots & +&a_{mn}\ x_n &=&b_m\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.$

posiada przynajmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

$\text{rzA}=\text{rzU}$ ,

Tzn. rząd macierzy współczynników i rząd macierzy uzupełnionej układu są sobie równe.

Ponadto, jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:

$r=\text{rzA=rzU}$ ,

$n$ -liczba niewiadomych,

$m$ - liczba równań,

to gdy

$r=n$ - układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
$r<n$ - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od $n-r$ parametrów.

Wniosek

Z tego twierdzenia możemy szybko wysunąć wniosek:

Jeżeli $\text{rzA} \neq \text{rzU}$ ,to układ jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań).

Teraz przejdziemy do przykładu, nawet kilku przykładów.

Przykład 1

Określ liczbę rozwiązań układu równań postaci:

$\left\{\begin{matrix} 2\ x&+&4\ y&+&z&=&7 \\x&+&y&+&z&=&10 \\ 4\ x&+&y&+&7\ z&=&12 \end{matrix}\right.$

Niewiadome w tym układzie to $x,y,z$ . Zatem liczba niewiadomych to:

$n=3$

Rozpoczynamy od wyznaczenia macierzy współczynników oraz macierzy uzupełnionej.

Macierz $A$ współczynników układu:

Macierz uzupełniona układu ( jest to macierz współczynników z dołączoną kolumną wyrazów wolnych):

Obliczamy rzędy obu macierzy:

Przypominamy, że rząd macierzy jest to wymiar największego niezerowego minoru wyjętego z macierzy.

Rząd macierzy $A$ .

Najpierw sprawdzamy wyznacznik macierzy $A$ ( największy minor wyjęty z macierzy $A$ ):

$det A=\begin{vmatrix} 2&4&1 \\1&1&1 \\ 4&1&7 \end{vmatrix}=-3\neq 0$

Wyznacznik jest niezerowy, dlatego rząd macierzy $A$ wynosi $3$ ( taki był wymiar wyznacznika $3\times 3$ ).

$rzA=3$

Ponieważ rząd macierzy współczynników jest największy z możliwych, to rząd macierzy uzupełnionej również wynosi $3$ . ( Z macierzy uzupełnionej możemy wyciągnąć minor, który jest równy wyznacznikowi macierzy $A$ ). Zatem:

$rzU=3$

Otrzymaliśmy, że

$rzA=rzU=3$

oraz

$n=3$

Zgodnie z Twierdzeniem Kroneckera-Capellego rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie ( liczba niewiadomych = rząd macierzy współczynników = rząd macierzy uzupełnionej). Możemy ten układ rozwiązać np. stosując wzory Cramera. Otrzymamy wówczas, że:

$\left\{\begin{matrix} x=64\\ y=-\cfrac{67}{3}\\ z=-\cfrac{95}{3} \end{matrix}\right.$

Przykład 2

Określ liczbę rozwiązań układu równań postaci:

$\left\{\begin{matrix} x&+&y&+&3\ z&=&10 \\2\ x&+&2\ y&+&6\ z&=&20\\ 4\ x&+&y&+&7\ z&=&12 \end{matrix}\right.$

Niewiadome w tym układzie to $x,y,z$ . Zatem liczba niewiadomych to:

$n=3$

Rozpoczynamy od wyznaczenia macierzy współczynników oraz macierzy uzupełnionej.

Macierz $A$ - współczynników układu:

$A=\begin{bmatrix} 1&1&3 \\2&2&6 \\ 4&1&7 \end{bmatrix}$

Macierz $U$ - uzupełniona układu:

$U=\begin{bmatrix} 1&1&3&10\\2&2&6&20\\ 4&1&7&12 \end{bmatrix}$

Obliczamy rzędy obu macierzy:

Rząd macierzy współczynników $A$ :

Sprawdzamy największy minor ( wyznacznik macierzy $A$ ):

$detA=\begin{vmatrix} 1&1&3 \\2&2&6 \\ 4&1&7 \end{vmatrix}=0$

Ponieważ otrzymaliśmy wyznacznik równy zero, oznacza to, że rząd macierzy $A$ na pewno jest mniejszy od $3$ . Sprawdzamy kolejne minory mniejszego wymiaru ( $2$ ):

$M_{1}=\begin{vmatrix}2&6 \\ 1&7 \end{vmatrix}=2* 7-6*1=14-6=8 \neq 0$

Zatem rząd macierzy $A$ wynosi $2$ .

$rzA=2$

Obliczamy rząd macierzy uzupełnionej. Sprawdzamy kolejne minory wymiaru $3$ , wyjęte z macierzy $U$ :

$m_1=\begin{vmatrix} 1&3& 10\\2&6& 20\\ 1&7 &12 \end{vmatrix}=0$

Sprawdzamy kolejny minor rzędu $3$ :

$m_2=\begin{vmatrix} 1&3& 10\\2&6& 20\\ 4&7 &12 \end{vmatrix}=0$

Ostatni minor rzędu $3$ , to:

$m_3=\begin{vmatrix} 1&1& 10\\2&2& 20\\ 4&1 &12 \end{vmatrix}=0$

Sprawdziliśmy wszystkie minory wymiaru $3$ wyjęte z macierzy $U$ . Wszystkie te minory są równe zero, dlatego rząd macierzy $U$ jest mniejszy od $3$ . Ponieważ:

$m_4=\begin{vmatrix}2&6\\ 1 &7 \end{vmatrix}=2* 7 -6* 1=14-6=8\neq 0$

to rząd macierzy $U$ wynosi $2$ .

$rzU=2$

Czyli:

$rzA=rzU=2$

oraz

$n=3$

Rząd macierzy współczynników i macierzy uzupełnionej są równe i wynoszą $r=2$ , ale liczba niewiadomych to $3$ , zatem zgodnie z Twierdzeniem Kroneckera-Capellego układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru ( $n-r=3-2=1$ ).

Przykład 3

Określ liczbę rozwiązań układu równań postaci:

$\left\{\begin{matrix} 2\ x&+&6\ y&+&4\ z&=&5 \\x&+&3\ y&+&2\ z&=&3 \\ 5\ x&+&3\ y&+&7\ z&=&2 \end{matrix}\right.$

Niewiadome w tym układzie to $x,y,z$ . Zatem liczba niewiadomych to:

$n=3$

Rozpoczynamy od wyznaczenia macierzy współczynników oraz macierzy uzupełnionej.

Macierz $A$ - współczynników układu:

$A=\begin{bmatrix} 2&6&4 \\ 1&3&2 \\ 5&3&7 \end{bmatrix}$

Macierz $U$ - uzupełniona układu:

$U=\begin{bmatrix} 2&6&4&5 \\ 1&3&2&3 \\ 5&3&7&2 \end{bmatrix}$

Obliczamy rzędy obu macierzy.

Rząd macierzy współczynników $A$ :

Sprawdzamy największy minor ( wyznacznik macierzy $A$ ):

$detA=\begin{vmatrix} 2&6&4 \\1&3&2 \\ 5&3&7 \end{vmatrix}=0$

Ponieważ otrzymaliśmy wyznacznik równy zero, oznacza to, że rząd macierzy $A$ na pewno jest mniejszy od $3$ . Sprawdzamy kolejne minory mniejszego wymiaru ( $2$ ):

$M_1=\begin{vmatrix}1&3 \\ 5&3 \end{vmatrix}=1* 3-3*5=3-15=-12$