Po co nam Twierdzenie Cramera?

Twierdzenie Cramera stosujemy do rozwiązywania układów równań liniowych.

Ale uwaga!

Nie do każdego takiego  układu. W tym twierdzeniu jest mowa tylko o układach, gdzie

Układy takie wyglądają mniej więcej tak:

\left\{\begin{matrix}\begin{matrix} a_{11}\ x_1&+ &a_{12}\ x_2&+& \ldots & +&\ a_{1n}\ x_n &=&b_1 \\  a_{21}\ x_1&+ &a_{22}\ x_2&+& \ldots & +&\ a_{2n}\ x_n &=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}\ x_1&+ &a_{n2}\ x_2&+& \ldots & +&\ a_{nn}\ x_n &=&b_n\\ \end{matrix}\end{matrix}\right.

Wszystkie elementy tego układu mają swoje nazwy. Tzn.

 

Powyższy układ możemy też zapisać w postaci macierzowej. Wtedy wygląda on tak:

 \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}

Na początku zaznaczyłam, że układy równań, do których stosujemy Twierdzenie Cramera, mają taką samą liczbę równań i niewiadomych.  Oznacza to, że macierz współczynników równania, czyli macierz  A postaci:

A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix}

jest macierzą kwadratową wymiaru n\times n. Mamy taką samą liczbę wierszy i kolumn.

Teraz kiedy już wiemy,  z jakimi układami równań mamy do czynienia, możemy przejść do Twierdzenia Cramera. Brzmi ono następująco:

 

 

Twierdzenie: Cramera

Jeżeli wyznacznik macierzy współczynników układu jest różny od zera (  det A\neq 0), to układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

x_i=\cfrac{W_i}{W},

gdzie

  • W=det A - jest to wyznacznik macierzy współczynników układu. Jest to tzw. wyznacznik główny.
  • W_i - jest to wyznacznik z macierzy, która powstaje z macierzy A , przez zastąpienie kolumny współczynników niewiadomej x_i przez kolumnę wyrazów wolnych.

(Pewnie przeczytałeś to zdanie i dalej nic z tego nie wiesz? ;), poniżej to samo tylko trochę bardziej obrazowo.)

Spróbujmy utworzyć sobie wyznacznik W_1, czyli taki, który odpowiada pierwszej niewiadomej x_1.


Pozostałe wyznaczniki W_i tworzymy w analogiczny sposób, zastępując odpowiednią kolumnę współczynników  w macierzy, kolumną wyrazów wolnych.

Teraz, żeby już nie było żadnych wątpliwości, spójrz na przykład poniżej. ( Już na konkretnych liczbach, bez tysiąca literek i indeksów :P ) .

Przykład 1

Rozwiąż poniższy układ równań stosując Twierdznie Cramera:

 \left\{\begin{matrix} \begin{matrix} 8x&+&y&+&2z=&16 \\  5x&-&3y&-&7z=&-22\\ &-&5y&+&7z=&11\end{matrix} \end{matrix}\right.

Pierwsza rzecz jaką musimy sprawdzić, to założenie Twierdzenia Cramera, czyli czy wyznacznik z macierzy współczynników jest różny od zera. Wypiszmy więc najpierw macierz współczynników:

 

Obliczamy wyznacznik z macierzy A:

det A=\begin{vmatrix} 8&1&2 \\ 5&-3&-7\\ 0&-5&7 \end{vmatrix}=-553

To mamy już wyznacznik główny. I hura! na szczęście jest różny od zera!:) To oznacza, że ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i na dodatek wiemy jak je obliczyć. A robi się to tak:

Pamiętajmy, że liczby, które znajdują się po znaku równości, to są tzw. wyrazy wolne. Ponieważ będą one nam potrzebne, to zapiszmy je w postaci kolumny B:

B=\begin{bmatrix}16\\ -22\\ 11 \end{bmatrix}.

Musimy znaleźć wyznaczniki odpowiadające kolejnym niewiadomym, czyli W_x,\ W_y i W_z.

  • Zaczniemy od W_x:

 

Obliczamy wartość wyznacznika W_x:

W_x=-533

Teraz już możemy wyznaczyć, niewiadomą x. Obliczamy ją ze wzoru:

x=\cfrac{W_x}{W}=\cfrac{-533}{-533}=1

Ps. Tyle liczenia... a na końcu wyszło marne 1, eh...

  • No to teraz kolejna niewiadoma, czyli y:

 

W_y=-1066

Obliczamy niewiadomą y według wzoru:

y=\cfrac{W_y}{W}=\cfrac{-1066}{-533}=2

No to mamy drugą niewiadomą. Pozostała do obliczenia ostatnia!

  • Wreszcie ostatnia niewiadoma, z:

 

W_z=-1599

Analogicznie jak poprzednio, obliczamy niewiadomą z:

z=\cfrac{W_z}{W}=\cfrac{-1599}{-533}=3

 

Voilà!

( czyt. vuala, to dla tych co nie uczą się francuskiego ;) )

Podsumowując te wszystkie żmudne obliczenia, w końcu mamy upragnione rozwiązanie układu równań:

\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2\\ z=3  \end{matrix}\right.

Wniosek z Twierdzenia Cramera 

W twierdzeniu Cramera jest mowa o przypadku, gdy wyznacznik główny jest różny od zera. A co się dzieje gdy ten wyznacznik jest równy zero?

  •  det A=0 i W_i=0 (dla każdego i) - układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań,
  •  det A=0 i istnieje W_i \neq 0 - układ równań liniowych jest sprzeczny.

Zadanie 1

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+2y=5\\3x+4y=6\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y=1\\2x+5y=2\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}3x+y+3z=0\\2x+y+4z=2\\2x+4z=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż metodą macierzową układ równań:

\left\{\begin{matrix}x+4z=2\\x+2y+3z=6\\4x+3y=5\end{matrix}\right.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz wyznacznik metodą Laplace'a:

\begin{vmatrix}1&0&4&4\\ 1&2&3&4\\ 2&4&3&4\\ 2&2&0&1\end{vmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz wyznacznik metodą Laplace'a:

\begin{vmatrix}2&0&3&4\\ 6&3&0&2\\ 1&1&5&1\\ 1&1&0&1\end{vmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Oblicz rząd macierzy A, jeżeli

A=\begin{bmatrix}2&0&10&2\\ 6&3&0&2\\1&0&5&1\\1&1&0&1\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}4x-y-3z=-7\\x+3y-7z=-14\\5x-2y+4z=13\\x-y+z=2\end{matrix}\right..

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż układ równań:

\left\{\begin{matrix}-x-3y+5z=15\\3x+3y-4z=-13\\6x-y-z=-12\\4x-5y-z=-18\end{matrix}\right..

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Znajdź macierz X taką, że:

3X-2X^{T}=\begin{bmatrix}  1&1 \\ -1&4\end{bmatrix}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

4 komentarze

  1. Karolinawis90 20121227190904 thumb
    karolinawis90 27.12.2012 19:12

    w zadaniu które rozwiązujesz W = -553 , a dalej przy wyznaczaniu x, y i z pod W jest podstawiona wartość -533 czyli dokładnie tyle co wynosi Wx , czemu tak ?

  2. Default avatar
    Jarus 29.01.2013 11:21

    no właśnie czemu? Czy tu jakiś bład jest ???

  3. Default avatar
    oputyk 19.10.2014 15:10

    Popatrzcie na górę... Tam jest obliczony wyznacznik macierzy W, a to, że wyznacznik Wx jest równy wyznacznikowi W jest czystym przypadkiem.

  4. Default avatar
    manus 28.02.2015 00:15

    Det A= -533 a nie 553

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz