Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa - Zadania z rozwiązaniami

W dwóch pudełkach znajdują się kule. W pierwszym pudełku są [tex] 4 [/tex] kule zielone, [tex]2[/tex] czerwone oraz [tex]10[/tex] białych. W drugim pudełku natomiast są [tex]3[/tex] kule zielone, [tex]5[/tex] kul czerwonych oraz [tex]7[/tex] kul białych. Z każdego pudełka losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez [tex] 8 [/tex].

Kule znajdujące się w urnie są ponumerowane. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze większym od [tex] 8 [/tex] wynosi [tex]0,7[/tex], natomiast prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze mniejszym od [tex]11[/tex]  wynosi [tex]0,6[/tex]. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze [tex]9[/tex] lub [tex]10[/tex].

Ze zbioru liczb naturalnych mniejszych od [tex]50[/tex] wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez [tex]3[/tex].

Rzucamy dwa razy sześcienną, symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą nie mniejszą niż [tex]20[/tex].

Dany jest zbiór [tex]\{1,3,5,8,9,12,18\}[/tex]. Zdarzenie [tex]A[/tex] polega na wylosowaniu z tego zbioru liczby podzielnej przez [tex]3[/tex], natomiast zdarzenie [tex]B[/tex] polega na wylosowaniu liczby większej od [tex] 8 [/tex]. Oblicz:

a) [tex]P(A)[/tex] oraz [tex]P(B)[/tex]

b) [tex]P(A \cap B)[/tex]

c) [tex]P(A \backslash B)[/tex]

Ze zbioru [tex]A=\{1,2,3,...,100\}[/tex] losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez [tex] 4 [/tex].

Na ile sposobów można rozmieścić liczby od [tex]1[/tex] do [tex]9[/tex] w tablicy o wymiarach [tex]3 \times 3[/tex]  ?

W Dużym Lotku jest losowanych [tex]6[/tex] numerów spośród [tex]49[/tex]. Ile różnych wyników można otrzymać w tym losowaniu?

W pudełku znajdują się [tex]2[/tex] kule białe, [tex]6[/tex] czerwonych i [tex]6[/tex] zielonych. Na ile sposobów można wyciągnąć z tego pudełka trzy kule, z których każda jest innego koloru?

Ile jest takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, których trzecia i czwarta cyfra jest parzysta,a pozostałe trzy nieparzyste?

Na ile sposobów można rozmieścić liczby od [tex]1[/tex] do [tex]4 [/tex] w tablicy o wymiarach [tex]2 \times 2[/tex]  ?

Na ile sposobów możemy rozdzielić [tex]5 [/tex] piłek do [tex]3 [/tex] koszy tak, aby żaden kosz nie został pusty?

Dany jest zbiór liter [tex]\{M,K,O,A,T,L,G,R,E\}[/tex]. Losujemy z tego zbioru [tex]5[/tex] liter. Oblicz prawdopodobieństwo, że [tex]5[/tex] wylosowanych liter z tego zbioru, w kolejności losowania utworzy wyraz [tex]AKTOR[/tex].

W pudełku znajdują się [tex] 4 [/tex] kule białe i [tex]10[/tex] kul zielonych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Na ile sposobów można wyciągnąć z pudełka dwie kule o różnych kolorach?

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry i po każdym rzucie zapisujemy liczbę wyrzuconych oczek

a) Ile jest wszystkich możliwych wyników?

b) Ile jest wszystkich wyników, w których w pierwszym rzucie otrzymamy liczbę parzystą, a w drugim liczbę nieparzystą?

c) Ile jest wszystkich wyników, w których liczba wyrzuconych oczek w jednym z rzutów będzie parzysta, a w drugim nieparzysta?

d) Ile jest wszystkich wyników takich, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą?

Ze zbioru [tex]A=\{2,4,5,7,12\}[/tex] losujemy  trzy liczby ( ze zwracaniem). Każda z tych liczb oznacza długość odcinka. Oblicz prawdopodobieństwo, że z odcinków o takiej długości da się zbudować trójkąt.

Dany jest zbiór [tex]A=\{1,2,3,4,5\}[/tex]. Oblicz liczbę wszystkich:

a) dwuwyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru [tex]A[/tex] (elementy mogą się powtarzać)

b) dwuelementowych podzbiorów zbioru [tex]A[/tex]

Ile jest takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, których druga i czwarta cyfra jest parzysta,a pozostałe trzy nieparzyste?

Dane są dwa zbiory liczb: [tex]X=\{-3,-1,0,4,6,12\}[/tex], [tex]Y=\{-3,-2,0,1,9,14\}[/tex]. Z każdego zbioru losujemy po jednej liczbie. Zdarzenie [tex]A[/tex] polega na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą ujemną, zdarzenie [tex]B[/tex] polega na wylosowaniu liczb nieparzystych. Oblicz:

a) [tex]P(A),\ P(B)[/tex]

b)  [tex]P(A \cap B)[/tex]

c)  [tex]P(A \cup B)[/tex]

Dane są punkty [tex]A=(1,1),\ \ B=(1,5),\ \ C=(-3,4),\ \ D=(-2,-3),\ \ E=(2,-4)[/tex]. Spośród tych punktów wybieramy losowo dwa. Oblicz prawdopodobieństwo, że prosta poprowadzona przez te dwa punkty będzie:

a) rosnąca

b) malejąca

O zdarzeniach [tex]A[/tex] oraz [tex]B[/tex] wiemy, że: [tex]P(A)=\cfrac{1}{3}[/tex],  [tex]P(B)=\cfrac{1}{2}[/tex],  [tex]P(A \cup B)=\cfrac{2}{3}[/tex]. Oblicz:

a) [tex]P(A \cap B)[/tex]

b) [tex]P(A \backslash B)[/tex]

W dwóch pudełkach znajdują się kule ponumerowane od [tex]1[/tex] do [tex] 30 [/tex]. Z każdego z tych pudełek losujemy losowo po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma numerów wylosowanych kul jest liczbą parzystą,

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką do gry. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz określ moc tego zbioru.

Dane jest równanie [tex]ax^2+bx+1=0[/tex]. Ze zbioru [tex]A=\{2,5,7\}[/tex] wybieramy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Pierwsza z nich to współczynnik [tex]a[/tex] w równaniu, natomiast druga to współczynnik [tex]b[/tex]. Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie nie będzie miało rozwiązania.