Styczne i sieczne.

Styczne i sieczne w okręgu.

Na początek krótkie przypomnienie co to jest styczna i sieczna.

 

 

 

 

[tex]r=\cfrac{a+b-c}{2}[/tex],

gdzie [tex]a,\ b[/tex] są długościami przyprostokątnych, natomiast [tex]c[/tex] jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Czworokąt [tex]FCGS[/tex] jest kwadratem, ponieważ wszystkie jego kąty są proste, a przeciwległe boki równej długości, zatem

[tex]|FC|=|SG|=r[/tex]

[tex]|GC|=|SF|=r[/tex]

 Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że:

[tex]|AF|=|AE|[/tex]

[tex]|BE|=|BG|[/tex]

Oznaczmy:

[tex]a=|AC|[/tex]

[tex]b=|BC|[/tex]

[tex]c=|AB|[/tex]

Wtedy:

[tex]a=x+r[/tex]

[tex]b=y+r[/tex]

[tex]c=x+y[/tex]

Czyli:

[tex]x=a-r[/tex]

[tex]y=b-r[/tex]

Podstawiając to do trzeciego równania otrzymujemy, że:

[tex]c=a-r+b-r[/tex]

[tex]c=a+b-2r[/tex]

[tex]2r=a+b-c[/tex]

[tex]r=\cfrac{a+b-c}{2}[/tex]

 

 

 

Na podstawie twierdzenia o siecznych, układamy równanie.

[tex]|PA| \cdot |PB| =|PD| \cdot |PC|[/tex]

[tex](x+x+8) \cdot x =5 \cdot 2[/tex]

[tex](2x+8) \cdot x =10[/tex]

[tex]2x^2+8x =10[/tex]

[tex]2x^2+8x -10=0[/tex]

[tex]x^2+4x -5=0[/tex]

  [tex]\Delta=4^2-4(-5)=16+20=36[/tex]

[tex]x_1=\cfrac{6-4}{2}=1[/tex]

[tex]x_2=\cfrac{-6-4}{2}=-5<0[/tex]

- to rozwiązanie odrzucamy bo długość nie może być ujemna.

Zatem otrzymaliśmy, że długości odcinków drugiej siecznej to:

[tex]x=1[/tex]

[tex]x+8=9[/tex]

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #351

 

W kąt wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość [tex]2[/tex], a większego [tex]5[/tex]. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek tego kąta, ze środkiem mniejszego okręgu.

---

Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #374

Na czworokącie [tex]ABCD[/tex] opisano okrąg. Punkt [tex]S[/tex] jest środkiem tego okręgu, a odcinek [tex]AC[/tex] jest jego średnicą. Styczna do okręgu w punkcie [tex]B[/tex] jest równoległa do odcinka [tex]AC[/tex]. Kąt [tex]\measuredangle ASD[/tex] ma miarę [tex]40^{\circ}[/tex]. Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych tego czworokąta.

---

Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #768

Kąt  [tex]\alpha[/tex]  między styczną a cięciwą okręgu ma miarę  [tex]30^{\circ}[/tex].  Miara kąta [tex]\beta[/tex]  wynosi:

---