Styczne i sieczne.


Styczne i sieczne w okręgu.

Na początek krótkie przypomnienie co to jest styczna i sieczna.

Definicja: Styczna do okręgu

Prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nazywamy styczną. Styczna do okręgu, jest prostopadła do promienia, łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

 

Definicja: Sieczna

Prosta, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne nazywamy sieczną.

 

Twierdzenie: O odcinkach stycznych do okręgu

 

 

Przykład 1

Wykaż, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość

,

gdzie są długościami przyprostokątnych, natomiast jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta.


Czworokąt jest kwadratem, ponieważ wszystkie jego kąty są proste, a przeciwległe boki równej długości, zatem

 Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że:

Oznaczmy:

Wtedy:

Czyli:

Podstawiając to do trzeciego równania otrzymujemy, że:

 

Twierdzenie: O odcinkach siecznych

Jeżeli sieczne przecinają się w pewnym punkcie nie należącym do okręgu, to

 

 

UWAGA!

Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy sieczne przecinają się wewnątrz okręgu.

Przykład 2

Przez okrąg poprowadzono dwie sieczne, które przecięły się na zewnątrz tego okręgu w punkcie .Odcinek wewnętrzny pierwszej siecznej ma długość , a jej odcinek zewnętrzny . Oblicz długości odcinków drugiej siecznej, jeżeli wiadomo, że odcinek wewnętrzny drugiej siecznej jest o dłuższy od odcinka zewnętrznego.

Na podstawie twierdzenia o siecznych, układamy równanie.

 

- to rozwiązanie odrzucamy bo długość nie może być ujemna.

Zatem otrzymaliśmy, że długości odcinków drugiej siecznej to:




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Czworokąty opisane na okręgu.
  2. Czworokąty wpisane w okrąg.
  3. Kąty w okręgu
  4. Kwadrat
  5. Podobieństwo trójkątów.
  6. Podobieństwo, własności figur podobnych
  7. Pole koła, długość okręgu, wycinek koła.
  8. Prostokąt
  9. Przykłady obliczania pól figur oraz obwodów z zastosowaniem trygonometrii.
  10. Romb
  11. Równoległobok
  12. Trapez
  13. Trójkąt
  14. Trójkąt prostokątny
  15. Trójkąt równoboczny
  16. Twiedzenie sinusów i cosinusów.
  17. Twierdzenie Talesa
  18. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #351
0


 

W kąt wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość , a większego . Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek tego kąta, ze środkiem mniejszego okręgu.


P
D
Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #374
0

Na czworokącie opisano okrąg. Punkt jest środkiem tego okręgu, a odcinek jest jego średnicą. Styczna do okręgu w punkcie jest równoległa do odcinka . Kąt ma miarę . Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych tego czworokąta.


P
K
Liceum » Figury płaskie (Planimetria) » #768
1

Kąt    między styczną a cięciwą okręgu ma miarę  .  Miara kąta   wynosi:


P
T

Zobacz zadania z działu figury płaskie (planimetria)(105)


Komentarze (
0
):