Styczne i sieczne w okręgu

Styczna do okręgu

Prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nazywamy styczną. Styczna do okręgu, jest prostopadła do promienia, łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

styczna w okręgu

Sieczna

Prosta, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne nazywamy sieczną.

sieczna

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

|AP|=|BP|

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

Przykład 1

Wykaż, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość

r=\cfrac{a+b-c}{2},

gdzie a,\ b są długościami przyprostokątnych, natomiast c jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta.


Czworokąt FCGS jest kwadratem, ponieważ wszystkie jego kąty są proste, a przeciwległe boki równej długości, zatem

|FC|=|SG|=r

|GC|=|SF|=r

Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że:

|AF|=|AE|

|BE|=|BG|

Oznaczmy:

a=|AC|

b=|BC|

c=|AB|

Wtedy:

a=x+r

b=y+r

c=x+y

Czyli:

x=a-r

y=b-r

Podstawiając to do trzeciego równania otrzymujemy, że:

c=a-r+b-r

c=a+b-2r

2r=a+b-c

r=\cfrac{a+b-c}{2}

Twierdzenie o odcinkach siecznych

Jeżeli sieczne przecinają się w pewnym punkcie P nie należącym do okręgu, to

|PA| * |PB| =|PD| * |PC|

UWAGA!

Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy sieczne przecinają się wewnątrz okręgu.

Przykład 2

Przez okrąg poprowadzono dwie sieczne, które przecięły się na zewnątrz tego okręgu w punkcie P.Odcinek wewnętrzny pierwszej siecznej ma długość 3 , a jej odcinek zewnętrzny 2. Oblicz długości odcinków drugiej siecznej, jeżeli wiadomo, że odcinek wewnętrzny drugiej siecznej jest o 8 dłuższy od odcinka zewnętrznego.

Na podstawie twierdzenia o siecznych, układamy równanie.

|PA| * |PB| =|PD| * |PC|

(x+x+8) * x =5 * 2

(2x+8) * x =10

2x^2+8x =10

2x^2+8x -10=0

x^2+4x -5=0

\Delta=4^2-4(-5)=16+20=36

x_1=\cfrac{6-4}{2}=1

x_2=\cfrac{-6-4}{2}=-5<0

- to rozwiązanie odrzucamy bo długość nie może być ujemna.

Zatem otrzymaliśmy, że długości odcinków drugiej siecznej to:

x=1

x+8=9


Zadanie 1

Jaką długość ma odcinek |PC|?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Ile wynosi x?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3


 

W kąt wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 2, a większego 5. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek tego kąta, ze środkiem mniejszego okręgu.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Punkt S jest środkiem tego okręgu, a odcinek AC jest jego średnicą. Styczna do okręgu w punkcie B jest równoległa do odcinka AC. Kąt \measuredangle ASD ma miarę 40^{\circ}. Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Kąt  \alpha  między styczną a cięciwą okręgu ma miarę  30^{\circ}.  Miara kąta \beta  wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz długość odcinka |PC| jeżeli wiadomo, że |AB|=2|CD| oraz |BP|+2=|CP| oraz promień okręgu wynosi 10.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz