Styczne i sieczne w okręgu
Styczna do okręgu
Prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nazywamy styczną. Styczna do okręgu, jest prostopadła do promienia, łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.
Sieczna
Prosta, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne nazywamy sieczną.
Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu
Wykaż, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość
,
gdzie są długościami przyprostokątnych, natomiast jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Czworokąt jest kwadratem, ponieważ wszystkie jego kąty są proste, a przeciwległe boki równej długości, zatem
Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że:
Oznaczmy:
Wtedy:
Czyli:
Podstawiając to do trzeciego równania otrzymujemy, że:
Twierdzenie o odcinkach siecznych
Jeżeli sieczne przecinają się w pewnym punkcie nie należącym do okręgu, to
Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy sieczne przecinają się wewnątrz okręgu.
Przez okrąg poprowadzono dwie sieczne, które przecięły się na zewnątrz tego okręgu w punkcie .Odcinek wewnętrzny pierwszej siecznej ma długość , a jej odcinek zewnętrzny . Oblicz długości odcinków drugiej siecznej, jeżeli wiadomo, że odcinek wewnętrzny drugiej siecznej jest o dłuższy od odcinka zewnętrznego.
Na podstawie twierdzenia o siecznych, układamy równanie.
- to rozwiązanie odrzucamy bo długość nie może być ujemna.
Zatem otrzymaliśmy, że długości odcinków drugiej siecznej to:
Zobacz rozwiązanieJaką długość ma odcinek ?
Zobacz rozwiązanieIle wynosi ?
Zobacz rozwiązanieW kąt wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 2, a większego 5. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek tego kąta, ze środkiem mniejszego okręgu.
Zobacz rozwiązanieNa czworokącie opisano okrąg. Punkt jest środkiem tego okręgu, a odcinek jest jego średnicą. Styczna do okręgu w punkcie jest równoległa do odcinka . Kąt ma miarę . Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych tego czworokąta.
Zobacz rozwiązanieKąt między styczną a cięciwą okręgu ma miarę . Miara kąta wynosi:
Zobacz rozwiązanieOblicz długość odcinka jeżeli wiadomo, że oraz oraz promień okręgu wynosi .
Przeczytaj także:
- Promień
- Cięciwa
- Średnica
- Pole koła
- Obwód koła
- Wycinek koła
- Wzajemne położenie prostej i okręgu
- Kąty w okręgu
- Liczba Pi
COMMENT_CONTENT