Wycinek koła

Dane jest koło (jak na rysunku). Rysujemy w tym kole dwa promienie (które się nie pokrywają). Wówczas te promienie dzielą koło na dwie części. Każda z tych części jest nazywana wycinkiem koła.

Poniżej będziemy rozważać wycinek, który na rysunku został zaznaczony kolorem żółtym.

Długość łuku

Długość łuku $AB$ obliczamy korzystając ze wzoru:

$l=\cfrac{\alpha}{360^{\circ}}* 2\pi r$

Przykład:

Oblicz długości łuków na jakie został podzielony okrąg przez punkty $A$ i $B$ , jeżeli $\alpha=140^{\circ}$ i $r=10$ .

Obliczamy długość krótszego łuku:

$l_1=\cfrac{140^{\circ}}{360^{\circ}}* 2\pi * 10=\cfrac{70}{9}\pi$

Obliczamy długość dłuższego łuku:

$l_2=\cfrac{360^{\circ}-140^{\circ}}{360^{\circ}}* 2\pi * 10=\cfrac{220^{\circ}}{360^{\circ}}* 20\pi=\cfrac{110}{9}\pi$

Pole wycinka koła

Pole wycinka koła obliczamy według wzoru:

$P=\cfrac{\alpha}{360^{\circ}}* \pi r^2$

Przykład:

Oblicz pola wycinków koła z poprzedniego przykładu.

Pole mniejszego wycinka:

$P_1=\cfrac{140^{\circ}}{360^{\circ}}* \pi * 10^2=\cfrac{350}{9}\pi$

Pole większego wycinka:

$P_2=\cfrac{220^{\circ}}{360^{\circ}}* \pi * 10^2=\cfrac{550}{9}\pi$

Zadanie 1

Pole zacieniowanego wycinka koła wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2

Jeżeli $\alpha=30^{\circ}$ , a promień okręgu $r=6$ to długość zaznaczonego czerwonym kolorem łuku wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Jeżeli $\alpha=45^{\circ}$ , a promień okręgu $r=4$ to pole zacieniowanego wycinka koła wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
3 komentarze

Zadanie 4

Oblicz długość okręgu, jeżeli długość łuku na którym oparty jest kąt $\alpha$ wynosi $\pi$ , a miara kąta $\alpha$ wynosi $40^{\circ}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5
Premium

Trzy okręgi o tym samym promieniu $R$ są parami zewnętrznie styczne. Połączono środki tych okręgów i powstał trójkąt $S_1S_2S_3$ (patrzy rysunek). Oblicz pole zacieniowanego obszaru.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 6
Premium

Oblicz pole obszaru opisanego za pomocą układu nierówności:

$\left\{\begin{matrix}(x-2)^2+(y-3)^2 \leq 1\\y>3\\y>\sqrt{3}x+3-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
1 komentarz

Zadanie 7
Premium

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $R$ i kącie $\alpha$ . Oblicz objętość stożka.

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
1 komentarz

Zadanie 8

Oblicz długość łuku na którym oparty jest kąt $\alpha$ , jeżeli $\alpha=40^{\circ}$ , a długość całego okręgu wynosi $16\pi$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 9
Premium

Dwa okręgi o takich samych promieniach $r=2$ , przecinają się w punktach $P$ i $Q$ . Długość odcinka $PQ$ jest równa długości promienia okręgów. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.