Czworokąty opisane na okręgu.

0

Czworokąty opisane na okręgu.

Twierdzenie: O czworokącie opisanym na okręgu

Czworokąt wypukły można opisać na  okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe.

[tex]a+c=b+d[/tex]

 

 

 

UWAGA!

W dowolny czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem tego okręgu.

 

Przykład 1

W trapez o obwodzie [tex]54\ cm[/tex] wpisano okrąg o promieniu [tex]r=4\ cm[/tex]. Jedno ramię tego trapezu jest dłuższe od drugiego o [tex]7\ cm[/tex]. Oblicz długości podstaw tego trapezu.

Ponieważ  w trapez można wpisać okrąg, to między bokami zachodzi zależność:

[tex]a+b=c+d[/tex]

Obwód tego trapezu wynosi [tex]54\ cm[/tex]. Suma długości ramion jest równa połowie tego obwodu:

[tex]c+d=27\ cm[/tex]

Z treści zadania wiemy, że

[tex]d=c+7[/tex]

Obliczamy długości ramion:

[tex]c+c+7=27\ cm[/tex]

[tex]2c=20\ cm[/tex]

[tex]c=10\ cm[/tex]

[tex]d=10+7\ cm=17\ cm[/tex]

Z rysunku  widzimy, że:

[tex]b=|AE|+|EF|+|FB| [/tex]

[tex]|EF|=a[/tex]

[tex]h=2r=2\cdot 4=8\ cm[/tex]

Z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do trójkątów [tex]AED[/tex] i [tex]FBC[/tex] obliczymy długości odcinków [tex]|AE|[/tex] i [tex]|FB|[/tex].

 [tex]|AE|^2+(2r)^2=c^2[/tex]

 [tex]|AE|^2+8^2=10^2[/tex]

 [tex]|AE|^2=100-64=36[/tex]

[tex]|AE|=6[/tex]

 

 [tex]|FB|^2+(2r)^2=d^2[/tex]

 [tex]|RB|^2+8^2=17^2[/tex]

 [tex]|AE|^2=289-64=225[/tex]

[tex]|AE|=15[/tex]

 

[tex]b=|AE|+|EF|+|FB| =6+a+15=21+a[/tex]

 

Ponieważ w trapez jest wpisany okrąg, to suma długości podstaw jest równa połowie obwodu:

[tex]a+b=27\ cm[/tex]

[tex]a+21+a=27\ cm[/tex]

[tex]2a=6\ cm[/tex]

 

[tex]a=3\ cm[/tex]

[tex]b=21+3=24\ cm[/tex]

Do góry


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Komentarze (
0
):