Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.


Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Teraz omówimy, w jaki sposób odczytać z wykresu wzór funkcji kwadratowej oraz jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej spełniającej zadane warunki.

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci kanonicznej i wierzchołka paraboli.

gdzie  jest wierzchołkiem paraboli.  Aby znaleźć wzór funkcji w powyższej postaci, potrzebujemy tylko dwóch punktów należących do paraboli: wierzchołka oraz innego dowolnego punktu tego wykresu.

Jeżeli odczytamy z wykresu współrzędne wierzchołka paraboli, tzn.  i , to pozostaje wówczas do wyznaczenia tylko współczynnik . Wybieramy dowolny punkt należący do paraboli ( nie będący wierzchołkiem), podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną  i obliczamy .

Przykład 1

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

Najpierw odczytujemy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek:

Zatem:

Podstawiamy te wartości do wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

Pozostaje nam jedna niewiadoma, czyli . Odczytujemy drugi punkt należący do wykresu funkcji, np. :

Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji i obliczamy :

Czyli:

 Zatem wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na pierwszym rysunku to:

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej i miejsc zerowych funkcji.

Drugim sposobem łatwego odczytywania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu, jest wykorzystanie postaci iloczynowej tej funkcji, tj:

gdzie to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Odczytujemy z wykresu funkcji jej miejsca zerowe, i podstawiamy do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej. Współczynnik wyznaczamy tak samo jak w powyższym przykładzie, tzn. wybieramy dowolny inny punkt należący do  wykresu tej funkcji, podstawiamy do wzoru i obliczamy .

Przykład 2

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

UWAGA!

Zauważ, że w tym wypadku, nie można dokładnie odczytać współrzędnych wierzchołka paraboli. Dlatego nie można skorzystać z pierwszego sposobu wyznaczania wzoru funkcji!

Najpierw odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji:

 Podstawiamy te wartości do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej:

Pozostaje do wyznaczenia wartość współczynnika . Wybieramy dowolny punkt należący do wykresu funkcji. Np. :

Podstawiamy ten punkt do wzoru funkcji i wyznaczamy wartość współczynnika :

Zatem:

Czyli wzór funkcji to:

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej i punktu przecięcia z osią OY.

Współczynnik można łatwo odczytać z wykresu funkcji, ponieważ punkt jest punktem przecięcia się paraboli z osią .Wtedy liczba niewiadomych zmniejsza się do dwóch. Odczytujemy dwa punkty z wykresu funkcji, i układamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi i .

Przykład 3

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

 

Zauważ, że nie można z wykres odczytać ani współrzędnych wierzchołka ani miejsc zerowych funkcji. Ale za to wiadomo, że punk przecięcia paraboli z osią to :

Punkt ten wyznacza wartość współczynnika :

 Czyli:

 Znajdujemy dwa punkty, które należą do wykresu funkcji:

Podstawiamy współrzędne tych punktów do wzoru funkcji i tworzymy układ równań:

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy wartość pozostałych współczynników:

Zatem wzór funkcji to:

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej funkcji.

Najbardziej ogólnym sposobem wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu jest odczytanie współrzędnych trzech punktów należących do paraboli, i kolejno ułożenie układu trzech równań z niewiadomymi współczynnikami. Korzystamy wówczas z postaci ogólnej funkcji kwadratowej:

Takie liczenie jest żmudne i długie. Warto skorzystać z innych własności funkcji kwadratowej i rozwiązać to zadanie korzystając z  jednego ze sposobów opisanych wcześniej.




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Funkcja kwadratowa - podstawowe pojęcia.
  2. Nierówności kwadratowe dla a<0
  3. Nierówności kwadratowe dla a>0
  4. Nierówności kwadratowe z parametrem.
  5. Parabola, wierzchołek paraboli, zbiór wartości funkcji kwadratowej.
  6. Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej.
  7. Równania kwadratowe z parametrem.
  8. Równanie kwadratowe
  9. Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej.
  10. Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
  11. Wzory Viete'a

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Funkcja kwadratowa » #115
0

Na powyższym rysunku znajduje się wykres funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznacz:

a) Miejsca zerowe funkcji

b) Współrzędne wierzchołka paraboli

c) Przedziały monotoniczności

d) Wzór funkcji


P
D
Liceum » Funkcja kwadratowa » #52
0

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest przedział , a zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział . Wyznacz wzór funkcji .


P
K
Liceum » Funkcja kwadratowa » #504
0

Funkcja dana jest wzorem . Miejscami zerowymi tej funkcji są i . Wyznacz wzór tej funkcji.

 


P
K

Zobacz zadania z działu funkcja kwadratowa(76)


Komentarze (
0
):