Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Teraz omówimy, w jaki sposób odczytać z wykresu wzór funkcji kwadratowej oraz jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej spełniającej zadane warunki.

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci kanonicznej i wierzchołka paraboli.

[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]

gdzie  [tex]W=(p,q) [/tex] jest wierzchołkiem paraboli. Wówczas potrzebujemy tylko dwóch punktów należących do paraboli: wierzchołka oraz innego dowolnego punktu tego wykresu.

Jeżeli odczytamy z wykresu współrzędne wierzchołka paraboli, tzn.  [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] to pozostaje wówczas do wyznaczenia tylko współczynnik [tex]a[/tex].

Wybieramy dowolny punkt należący do paraboli ( nie będący wierzchołkiem), podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną  i obliczamy [tex]a[/tex].

Najpierw odczytujemy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek:

[tex]W=(3,-6)[/tex]

Zatem:

[tex]p=3[/tex]

[tex]q=-6[/tex]

Podstawiamy te wartości do wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

[tex]f(x)=a(x-p)^2+q=a(x-3)^2-6[/tex]

Pozostaje nam jedna niewiadoma, czyli [tex]a[/tex]. Odczytujemy drugi punkt należący do wykresu funkcji, np. [tex]P[/tex]:

[tex]P=(0,3)[/tex]

Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji [tex]f(x)=a(x-3)^2-6[/tex] i obliczamy [tex]a[/tex]:

[tex]f(0)=3[/tex]

Czyli:

[tex]a(0-3)^2-6=3[/tex]

[tex]9a-6=3[/tex]

[tex]9a=3+6[/tex]

[tex]9a=9[/tex]

[tex]a=1 [/tex]

 Zatem wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na pierwszym rysunku to:

[tex]f(x)=(x-3)^2-6[/tex]

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej i miejsc zerowych funkcji.

Drugim sposobem łatwego odczytywania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu, jest wykorzystanie postaci iloczynowej tej funkcji, tj:

[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

gdzie [tex]x_1,\ x_2[/tex] to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Odczytujemy z wykresu funkcji jej miejsca zerowe, i podstawiamy do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej. Współczynnik [tex]a[/tex] wyznaczamy tak samo jak w powyższym przykładzie, tzn. wybieramy dowolny inny punkt należący do  wykresu tej funkcji i obliczamy [tex]a[/tex].

Najpierw odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji:

[tex]x_1=2[/tex]

[tex]x_2=5[/tex]

 Podstawiamy te wartości do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x-2)(x-5)[/tex]

Pozostaje do wyznaczenia wartość współczynnika [tex]a[/tex]. Wybieramy dowolny punkt [tex]P[/tex] należący do wykresu funkcji. Np. [tex]P[/tex]:

[tex]P=(1,8)[/tex]

Podstawiamy ten punkt do wzoru funkcji i wyznaczamy wartość współczynnika [tex]a[/tex]:

[tex]f(1)=8[/tex]

[tex]f(x)=a(x-2)(x-5)[/tex]

Zatem:

[tex]a(1-2)(1-5)=8[/tex]

[tex]a(-1)\cdot (-4)=8[/tex]

[tex] 4a=8[/tex]

[tex] a=2[/tex]

Czyli wzór funkcji to:

[tex]f(x)=2(x-2)(x-5)[/tex]

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej i punktu przecięcia z osią OY.

Współczynnik [tex]c[/tex] można łatwo odczytać z wykresu funkcji, ponieważ punkt [tex](0,c)[/tex] jest punktem przecięcia się paraboli z osią [tex]OY[/tex].Wtedy liczba niewiadomych zmniejsza się do dwóch. Odczytujemy dwa punkty z wykresu funkcji, i układamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex].

 

Zauważ, że nie można z wykres odczytać ani współrzędnych wierzchołka ani miejsc zerowych funkcji. Ale za to wiadomo, że punk przecięcia paraboli z osią [tex]OY[/tex] to [tex](0,1)[/tex]:

Punkt ten wyznacza wartość współczynnika [tex]c[/tex]:

[tex]c=1[/tex]

 Czyli:

[tex]f(x)=ax^2+bx+1[/tex]

 Znajdujemy dwa punkty, które należą do wykresu funkcji:

[tex]P=(-1,-1)[/tex]

[tex]Q=(2,-1)[/tex]

Podstawiamy współrzędne tych punktów do wzoru funkcji [tex]f(x)=ax^2+bx+1[/tex] i tworzymy układ równań:

[tex]f(-1)=a\cdot (-1)^2+b \cdot (-1) +1=-1[/tex]

[tex]f(2)=a\cdot 2^2+b \cdot 2 +1=-1[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}
a-b+1=-1\\
4a+2b+1=-1
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}
a-b=-2\\
4a+2b=-2
\end{matrix}\right.[/tex]

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy wartość pozostałych współczynników:

[tex]\left\{\begin{matrix} a=-1\\
b=1
\end{matrix}\right.[/tex]

Zatem wzór funkcji to:

[tex]f(x)=-x^2+x+1 [/tex]

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej funkcji.

Najbardziej ogólnym sposobem wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu jest odczytanie współrzędnych trzech punktów należących do paraboli, i kolejno ułożenie układu trzech równań z niewiadomymi współczynnikami. Korzystamy wówczas z postaci ogólnej funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=ax^2+bx+c [/tex]

Takie liczenie jest żmudne i długie. Warto skorzystać z innych własności funkcji kwadratowej i rozwiązać to zadanie korzystając z  jednego ze sposobów opisanych wcześniej.

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Funkcja kwadratowa » #52

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej [tex]f[/tex] jest przedział [tex][-4,+\infty)[/tex], a zbiorem rozwiązań nierówności [tex]f(x)>0[/tex] jest przedział [tex](-\infty,-1)\cup(3,+\infty)[/tex]. Wyznacz wzór funkcji [tex]f[/tex].

---

Liceum » Funkcja kwadratowa » #504

Funkcja [tex]f[/tex] dana jest wzorem [tex]f(x)=x^2+bx+c[/tex]. Miejscami zerowymi tej funkcji są [tex]x=3[/tex] i [tex]x=5[/tex]. Wyznacz wzór tej funkcji.

 

---