Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Teraz omówimy, w jaki sposób odczytać z wykresu wzór funkcji kwadratowej oraz jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej spełniającej zadane warunki.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci kanonicznej i wierzchołka paraboli.

$f(x)=a(x-p)^2+q$

gdzie $W=(p,q)$ jest wierzchołkiem paraboli. Aby znaleźć wzór funkcji w powyższej postaci, potrzebujemy tylko dwóch punktów należących do paraboli: wierzchołka oraz innego dowolnego punktu tego wykresu.

Jeżeli odczytamy z wykresu współrzędne wierzchołka paraboli, tzn. $p$ i $q$ , to pozostaje wówczas do wyznaczenia tylko współczynnik $a$ . Wybieramy dowolny punkt należący do paraboli ( nie będący wierzchołkiem), podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną i obliczamy $a$ .

Przykład 1

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

Najpierw odczytujemy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek:

$W=(3,-6)$

Zatem:

$p=3$

$q=-6$

Podstawiamy te wartości do wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

$f(x)=a(x-p)^2+q=a(x-3)^2-6$

Pozostaje nam jedna niewiadoma, czyli $a$ . Odczytujemy drugi punkt należący do wykresu funkcji, np. $P$ :

$P=(0,3)$

Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji $f(x)=a(x-3)^2-6$ i obliczamy $a$ :

$f(0)=3$

Czyli:

$a(0-3)^2-6=3$

$9a-6=3$

$9a=3+6$

$9a=9$

$a=1$

Zatem wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na pierwszym rysunku to:

$f(x)=(x-3)^2-6$

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej i miejsc zerowych funkcji.

Drugim sposobem łatwego odczytywania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu, jest wykorzystanie postaci iloczynowej tej funkcji, tj:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

gdzie $x_1,\ x_2$ to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Odczytujemy z wykresu funkcji jej miejsca zerowe, i podstawiamy do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej. Współczynnik $a$ wyznaczamy tak samo jak w powyższym przykładzie, tzn. wybieramy dowolny inny punkt należący do wykresu tej funkcji, podstawiamy do wzoru i obliczamy $a$ .

Przykład 2

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

UWAGA!

Zauważ, że w tym wypadku, nie można dokładnie odczytać współrzędnych wierzchołka paraboli. Dlatego nie można skorzystać z pierwszego sposobu wyznaczania wzoru funkcji!

Najpierw odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji:

$x_1=2$

$x_2=5$

Podstawiamy te wartości do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x-2)(x-5)$

Pozostaje do wyznaczenia wartość współczynnika $a$ . Wybieramy dowolny punkt $P$ należący do wykresu funkcji. Np. $P$ :

$P=(1,8)$

Podstawiamy ten punkt do wzoru funkcji i wyznaczamy wartość współczynnika $a$ :

$f(1)=8$

$f(x)=a(x-2)(x-5)$

Zatem:

$a(1-2)(1-5)=8$

$a(-1)* (-4)=8$

$4a=8$

$a=2$

Czyli wzór funkcji to:

$f(x)=2(x-2)(x-5)$

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej i punktu przecięcia z osią OY.

$f(x)=ax^2+bx+c$

Współczynnik $c$ można łatwo odczytać z wykresu funkcji, ponieważ punkt $(0,c)$ jest punktem przecięcia się paraboli z osią $OY$ .Wtedy liczba niewiadomych zmniejsza się do dwóch. Odczytujemy dwa punkty z wykresu funkcji, i układamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi $a$ i $b$ .

Przykład 3

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

Zauważ, że nie można z wykres odczytać ani współrzędnych wierzchołka ani miejsc zerowych funkcji. Ale za to wiadomo, że punk przecięcia paraboli z osią $OY$ to $(0,1)$ :

Punkt ten wyznacza wartość współczynnika $c$ :

$c=1$

Czyli:

$f(x)=ax^2+bx+1$

Znajdujemy dwa punkty, które należą do wykresu funkcji:

$P=(-1,-1)$

$Q=(2,-1)$

Podstawiamy współrzędne tych punktów do wzoru funkcji $f(x)=ax^2+bx+1$ i tworzymy układ równań:

$f(-1)=a* (-1)^2+b * (-1) +1=-1$

$f(2)=a* 2^2+b * 2 +1=-1$

$\left\{\begin{matrix} a-b+1=-1\\ 4a+2b+1=-1 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a-b=-2\\ 4a+2b=-2 \end{matrix}\right.$

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy wartość pozostałych współczynników:

$\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=1 \end{matrix}\right.$

Zatem wzór funkcji to:

$f(x)=-x^2+x+1$

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej funkcji.

Najbardziej ogólnym sposobem wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu jest odczytanie współrzędnych trzech punktów należących do paraboli, i kolejno ułożenie układu trzech równań z niewiadomymi współczynnikami. Korzystamy wówczas z postaci ogólnej funkcji kwadratowej:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Takie liczenie jest żmudne i długie. Warto skorzystać z innych własności funkcji kwadratowej i rozwiązać to zadanie korzystając z jednego ze sposobów opisanych wcześniej.

Zadanie 1

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej przedstawionej na poniższym wykresie.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 2

Funkcja $f$ dana jest wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ . Miejscami zerowymi tej funkcji są $x=3$ i $x=5$ . Wyznacz wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Wzór funkcji kwadratowej przedstawionej na rysunku to:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 4

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, przedstawionej na poniższym wykresie.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5

Wykres funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$ jest przedstawiony na poniższym wykresie. Wskaż wartość współczynnika $c$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6

Funkcja $f(x)=x^2+bx+c$ jest przedstawiona na poniższym wykresie. Wskaż wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Funkcja $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$ jest przedstawiona na poniższym wykresie. Wskaż wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Na powyższym rysunku znajduje się wykres pewnej funkcji. Wzór tej funkcji to:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 9

Na powyższym rysunku znajduje się wykres funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznacz:

a) Miejsca zerowe funkcji

b) Współrzędne wierzchołka paraboli

c) Przedziały monotoniczności

d) Wzór funkcji

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10
Premium

Funkcja $f$ dana jest wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ . Miejscami zerowymi tej funkcji są $x=3$ i $x=5$ . Wyznacz wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 11
Premium

Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest $x=3$ . Wykres tej funkcji przecina oś $OY$ w punkcie $P=(0,6)$ . Wyznacz wzór tej funkcji, a następnie naszkicuj jej wykres.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 12
Premium

O funkcji kwadratowej $f$ wiemy, że jest rosnąca w przedziale $[-\cfrac{3}{2},+\infty)$ , jednym z jej miejsc zerowych jest liczba $-1$ oraz, że jej wykres przecina oś OY w punkcie $6$ . Wyznacz wzór tej funkcji oraz jej najmniejszą i największą wartość w przedziale $[-5,-4]$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
5 komentarzy

Zadanie 13
Premium

Wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej jest punkt $W=(3,-9)$ . Wiadomo, że wykres tej funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 14
Premium

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f$ jest przedział $[-4,+\infty)$ , a zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)>0$ jest przedział $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ .