Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Teraz omówimy, w jaki sposób odczytać z wykresu wzór funkcji kwadratowej oraz jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej spełniającej zadane warunki.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci kanonicznej i wierzchołka paraboli.

f(x)=a(x-p)^2+q

gdzie W=(p,q) jest wierzchołkiem paraboli.  Aby znaleźć wzór funkcji w powyższej postaci, potrzebujemy tylko dwóch punktów należących do paraboli: wierzchołka oraz innego dowolnego punktu tego wykresu.

Jeżeli odczytamy z wykresu współrzędne wierzchołka paraboli, tzn.  p i q, to pozostaje wówczas do wyznaczenia tylko współczynnik a. Wybieramy dowolny punkt należący do paraboli ( nie będący wierzchołkiem), podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną i obliczamy a.

Przykład 1

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

Najpierw odczytujemy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek:

W=(3,-6)

Zatem:

p=3

q=-6

Podstawiamy te wartości do wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

f(x)=a(x-p)^2+q=a(x-3)^2-6

Pozostaje nam jedna niewiadoma, czyli a. Odczytujemy drugi punkt należący do wykresu funkcji, np. P:

P=(0,3)

Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji f(x)=a(x-3)^2-6 i obliczamy a:

f(0)=3

Czyli:

a(0-3)^2-6=3

9a-6=3

9a=3+6

9a=9

a=1

Zatem wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na pierwszym rysunku to:

f(x)=(x-3)^2-6

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej i miejsc zerowych funkcji.

Drugim sposobem łatwego odczytywania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu, jest wykorzystanie postaci iloczynowej tej funkcji, tj:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

gdzie x_1,\ x_2 to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Odczytujemy z wykresu funkcji jej miejsca zerowe, i podstawiamy do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej. Współczynnik a wyznaczamy tak samo jak w powyższym przykładzie, tzn. wybieramy dowolny inny punkt należący do  wykresu tej funkcji, podstawiamy do wzoru i obliczamy a.

Przykład 2

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

UWAGA!

Zauważ, że w tym wypadku, nie można dokładnie odczytać współrzędnych wierzchołka paraboli. Dlatego nie można skorzystać z pierwszego sposobu wyznaczania wzoru funkcji!

Najpierw odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji:

x_1=2

x_2=5

Podstawiamy te wartości do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x-2)(x-5)

Pozostaje do wyznaczenia wartość współczynnika a. Wybieramy dowolny punkt P należący do wykresu funkcji. Np. P:

P=(1,8)

Podstawiamy ten punkt do wzoru funkcji i wyznaczamy wartość współczynnika a:

f(1)=8

f(x)=a(x-2)(x-5)

Zatem:

a(1-2)(1-5)=8

a(-1)* (-4)=8

 4a=8

 a=2

Czyli wzór funkcji to:

f(x)=2(x-2)(x-5)

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej i punktu przecięcia z osią OY.

f(x)=ax^2+bx+c

Współczynnik c można łatwo odczytać z wykresu funkcji, ponieważ punkt (0,c) jest punktem przecięcia się paraboli z osią OY.Wtedy liczba niewiadomych zmniejsza się do dwóch. Odczytujemy dwa punkty z wykresu funkcji, i układamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi a i b.

Przykład 3

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres znajduje się na poniższym rysunku:

 

Zauważ, że nie można z wykres odczytać ani współrzędnych wierzchołka ani miejsc zerowych funkcji. Ale za to wiadomo, że punk przecięcia paraboli z osią OY to (0,1):

Punkt ten wyznacza wartość współczynnika c:

c=1

Czyli:

f(x)=ax^2+bx+1

Znajdujemy dwa punkty, które należą do wykresu funkcji:

P=(-1,-1)

Q=(2,-1)

Podstawiamy współrzędne tych punktów do wzoru funkcji f(x)=ax^2+bx+1 i tworzymy układ równań:

f(-1)=a* (-1)^2+b * (-1) +1=-1

f(2)=a* 2^2+b * 2 +1=-1

\left\{\begin{matrix}<br> a-b+1=-1\\ <br> 4a+2b+1=-1<br> \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}<br> a-b=-2\\ <br> 4a+2b=-2<br> \end{matrix}\right.

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy wartość pozostałych współczynników:

\left\{\begin{matrix} a=-1\\ <br> b=1<br> \end{matrix}\right.

Zatem wzór funkcji to:

f(x)=-x^2+x+1

 

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci ogólnej funkcji.

Najbardziej ogólnym sposobem wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu jest odczytanie współrzędnych trzech punktów należących do paraboli, i kolejno ułożenie układu trzech równań z niewiadomymi współczynnikami. Korzystamy wówczas z postaci ogólnej funkcji kwadratowej:

f(x)=ax^2+bx+c

Takie liczenie jest żmudne i długie. Warto skorzystać z innych własności funkcji kwadratowej i rozwiązać to zadanie korzystając z  jednego ze sposobów opisanych wcześniej.


Zadanie 1

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej przedstawionej na poniższym wykresie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja f dana jest wzorem f(x)=x^2+bx+c. Miejscami zerowymi tej funkcji są x=3 i x=5. Wyznacz wzór tej funkcji.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wzór funkcji kwadratowej przedstawionej na rysunku to:


Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, przedstawionej na poniższym wykresie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wykres funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c jest przedstawiony na poniższym wykresie. Wskaż wartość współczynnika c.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Funkcja f(x)=x^2+bx+c jest przedstawiona na poniższym wykresie. Wskaż wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Funkcja f(x)=(x-x_1)(x-x_2) jest przedstawiona na poniższym wykresie. Wskaż wzór tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

 

Na powyższym rysunku znajduje się wykres pewnej funkcji. Wzór tej funkcji to:

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Na powyższym rysunku znajduje się wykres funkcji kwadratowej. Na jego podstawie wyznacz:

a) Miejsca zerowe funkcji

b) Współrzędne wierzchołka paraboli

c) Przedziały monotoniczności

d) Wzór funkcji

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja f dana jest wzorem f(x)=x^2+bx+c. Miejscami zerowymi tej funkcji są x=3 i x=5. Wyznacz wzór tej funkcji.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest x=3. Wykres tej funkcji przecina oś OY w punkcie P=(0,6). Wyznacz wzór tej funkcji, a następnie naszkicuj jej  wykres.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

O funkcji kwadratowej f wiemy, że jest rosnąca w przedziale [-\cfrac{3}{2},+\infty), jednym z jej miejsc zerowych jest liczba -1 oraz, że jej wykres przecina oś OY w punkcie 6. Wyznacz wzór tej funkcji oraz jej najmniejszą i największą wartość w przedziale [-5,-4].

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej jest punkt W=(3,-9). Wiadomo, że wykres tej funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział [-4,+\infty), a zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (-\infty,-1)\cup(3,+\infty). Wyznacz wzór funkcji f.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz