Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej

Teraz zajmiemy się kolejnym zagadnieniem, jakim jest sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, musimy znaleźć przynajmniej trzy punkty, które należą do tego wykresu.

Pierwszym krokiem jest wyznaczenie punktu, będącego wierzchołkiem paraboli. Dla przypomnienia, wierzchołek paraboli to punkt $W=(p,q)$ , gdzie:

$p=-\cfrac{b}{2a}$

$q=-\cfrac{\Delta}{4a}$

Kolejno, należy sprawdzić czy parabola przecina oś $OX$ , czyli czy funkcja ma miejsca zerowe. Liczba miejsc zerowych jest uzależniona od wartości wyróżnika $\Delta=b^2-4ac$ .

Jeżeli $\Delta<0$ wówczas funkcja nie ma miejsc zerowych i parabola jest nad lub pod osią $OX$ . Zobacz rysunki poniżej:

Wykres znajduje się nad osią $OX$ jeżeli $a>0$ :

Wykres znajduje się pod osią $OX$ jeżeli $a<0$ :

W takim wypadku, rysując wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć (oprócz wierzchołka) jeszcze dwa punkty należące do paraboli.

$p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Wyznaczając dwa pozostałe punkty, wybieramy dowolne $x_1<p$ oraz $x_2>p$ i liczymy wartość funkcji dla tych argumentów. Nanosimy je w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji kwadratowej danej wzorem $f(x)=x^2-8x+19$ .

Najpierw wyznaczamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

$W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)$

Odczytujemy współczynniki ze wzoru funkcji:

$a=1$

$b=-8$

$c=19$

Obliczamy wartość wyróżnika $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4 * 1 * 19=64-76=-12<0$

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka:

$W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\cfrac{-8}{2 * 1},-\cfrac{-12}{4 * 1}\right)=(4,3)$

$W=(4,3)$

Pierwsza współrzędna wierzchołka to $p=4$ . Wybieramy dwa dowolne punkty $x_1<4$ i $x_2>4$ . Np.:

$x_1=2$

$x_2=6$

Obliczamy wartość funkcji dla tych argumentów:

$f(x)=x^2-8x+19$

$f(2)=2^2-8* 2+19=7$

$f(6)=6^2-8* 6+19=7$

Wyznaczyliśmy dwa punkty należące do wykresu funkcji $f$ :

$P=(2,7)$

$Q=(6,7)$

UWAGA!

Zauważ, że jeżeli wybierzesz dwa argumenty, które są równo odległe od $p$ to wartość funkcji dla obu tych argumentów będzię taka sama, ponieważ parabola jest symetryczna względem prostej $x=p$ .

Zaznaczamy wszystkie trzy wyznaczone punkty $W,\ P,\ Q$ w układzie współrzędnych:

Rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty:

Wyróżnik jest mniejszy od zera, czyli funkcja nie ma miejsc zerowych. W żadnym punkcie nie przecina osi $OX$ .

Jeżeli $\Delta=0$ wówczas funkcja ma jedno miejsce zerowe i parabola jest styczna z osią $OX$ . Zobacz rysunki poniżej:

Gdy $a>0$ to ramiona paraboli są skierowane do góry:

Gdy $a<0$ to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Rysując wykres funkcji tej postaci, również postępujemy jak w powyższym przykładzie. Wybieramy dwa argumenty $x_1<p$ oraz $x_2>p$ i liczymy wartość funkcji dla tych argumentów. Nanosimy je w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej.

Jeżeli $\Delta>0$ wówczas funkcja ma dwa miejsce zerowe i parabola przecina oś $OX$ w dwóch punktach. Zobacz rysunki poniżej:

Gdy $a>0$ to ramiona paraboli są skierowane do góry:

Gdy $a<0$ to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Rysując wykres funkcji dla $\Delta>0$ wyznaczamy dwa miejsca zerowe funkcji. Przypomnijmy, że miejsca zerowe obliczamy korzystając ze wzorów:

$x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Miejsca zerowe wyznaczają punkty przecięcia paraboli z osią $OX$ :

$(x_1,0)$

$(x_2,0)$

Po obliczeniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej, zaznaczamy je w układzie współrzędnych razem z wierzchołkiem paraboli i rysujemy przybliżony wykres funkcji.

Przykład 2

Narysuj wykres funkcji kwadratowej danej wzorem $f(x)=x^2+2x-3$ .

Najpierw wyznaczamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

$W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)$

Odczytujemy współczynniki ze wzoru funkcji:

$a=1$

$b=2$

$c=-3$

Obliczamy wartość wyróżnika $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=2^2-4 * 1 * (-3)=4+12=16$

$W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\cfrac{2}{2* 1},-\cfrac{16}{4 * 1}\right)=(-1,-4)$

Zatem wierzchołkiem paraboli jest punkt:

$W=(-1,-4)$

Ponieważ $\Delta>0$ to obliczamy pierwiastki funkcji kwadratowej ( miejsca zerowe):

$x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2-4}{2}=-3$

$x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2+4}{2}=1$

Punkty przecięcia paraboli z osią $OX$ to:

$(-3,0)$

$(1,0)$

Zaznaczamy wszystkie trzy punkty w układzie współrzędnych:

Rysujemy parabolę:

Zadanie 1

Naszkicuj wykres funkcji $y=x^2-x-2$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 2

Wykres pewnej funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$ znajduje się na rysunku poniżej.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

$f(x)=ax^2+bx+c$

Wskaż przybliżony wykres funkcji $f$ wiedząc, że $\Delta>0$ oraz $a<0$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 4

Sporządź wykres funkcji kwadratowej danej wzorem: $f(x)=x^2-6x+5$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5
Premium

Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest $x=3$ . Wykres tej funkcji przecina oś $OY$ w punkcie $P=(0,6)$ . Wyznacz wzór tej funkcji, a następnie naszkicuj jej wykres.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6
Premium

Sporządź wykres funkcji kwadratowej $f$ , o której wiadomo, że prosta $x=-2$ jest osią symterii paraboli, do wykresu należy punkt $(0,5)$ , a zbiór wartości funkcji to przedział $[-3,+\infty)$ .