Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej

Teraz zajmiemy się kolejnym zagadnieniem, jakim jest sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej:

f(x)=ax^2+bx+c

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, musimy znaleźć przynajmniej trzy punkty, które należą do tego wykresu.

Pierwszym krokiem jest wyznaczenie punktu, będącego wierzchołkiem paraboli. Dla przypomnienia, wierzchołek paraboli to punkt W=(p,q), gdzie:

p=-\cfrac{b}{2a}

q=-\cfrac{\Delta}{4a}

Kolejno, należy sprawdzić czy parabola przecina oś OX, czyli czy funkcja ma miejsca zerowe. Liczba miejsc zerowych jest uzależniona od wartości wyróżnika  \Delta=b^2-4ac.

Jeżeli \Delta<0 wówczas funkcja nie ma miejsc zerowych i parabola jest nad lub pod osią OX. Zobacz rysunki poniżej:

Wykres znajduje się nad osią OX jeżeli a>0:

Wykres znajduje się pod osią OX jeżeli a<0:

W takim wypadku, rysując wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć (oprócz wierzchołka) jeszcze dwa punkty należące do paraboli.

p to pierwsza współrzędna wierzchołka. Wyznaczając dwa pozostałe punkty, wybieramy dowolne x_1<p oraz x_2>p i liczymy wartość funkcji dla tych argumentów. Nanosimy je w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji kwadratowej danej wzorem f(x)=x^2-8x+19 .

Najpierw wyznaczamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)

Odczytujemy współczynniki ze wzoru funkcji:

 a=1

 b=-8

 c=19

Obliczamy wartość wyróżnika  \Delta :

\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4 * 1 * 19=64-76=-12<0

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka:

W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\cfrac{-8}{2 * 1},-\cfrac{-12}{4 * 1}\right)=(4,3)

W=(4,3)

Pierwsza współrzędna wierzchołka to p=4. Wybieramy dwa dowolne punkty x_1<4 i x_2>4. Np.:

x_1=2

x_2=6

Obliczamy wartość funkcji dla tych argumentów:

f(x)=x^2-8x+19

f(2)=2^2-8* 2+19=7

f(6)=6^2-8* 6+19=7

Wyznaczyliśmy dwa punkty należące do wykresu funkcji f:

P=(2,7) 

Q=(6,7)

UWAGA!

Zauważ, że jeżeli wybierzesz dwa argumenty, które są równo odległe od p to wartość funkcji dla obu tych argumentów będzię taka sama, ponieważ parabola jest symetryczna względem prostej x=p.

Zaznaczamy wszystkie trzy wyznaczone punkty W,\ P,\ Q w układzie współrzędnych:

Rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty:

Wyróżnik jest mniejszy od zera, czyli funkcja nie ma miejsc zerowych. W żadnym punkcie nie przecina osi OX.

Jeżeli \Delta=0 wówczas funkcja ma jedno miejsce zerowe i parabola jest styczna z osią OX. Zobacz rysunki poniżej:

Gdy a>0 to ramiona paraboli są skierowane do góry:

Gdy a<0 to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Rysując wykres funkcji tej postaci, również postępujemy jak w powyższym przykładzie. Wybieramy dwa argumenty x_1<p oraz x_2>p i liczymy wartość funkcji dla tych argumentów. Nanosimy je w układzie współrzędnych i rysujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej.

Jeżeli \Delta>0 wówczas funkcja ma dwa miejsce zerowe i parabola przecina oś OX w dwóch punktach. Zobacz rysunki poniżej:

Gdy a>0 to ramiona paraboli są skierowane do góry:

Gdy  a<0 to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Rysując wykres funkcji dla \Delta>0 wyznaczamy dwa miejsca zerowe funkcji.  Przypomnijmy, że miejsca zerowe obliczamy korzystając ze wzorów:

x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Miejsca zerowe wyznaczają punkty przecięcia paraboli z osią OX:

(x_1,0)

(x_2,0)

Po obliczeniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej, zaznaczamy je w układzie współrzędnych razem z wierzchołkiem paraboli i rysujemy przybliżony wykres funkcji.

Przykład 2

Narysuj wykres funkcji kwadratowej danej wzorem f(x)=x^2+2x-3.

Najpierw wyznaczamy w jakim punkcie znajduje się wierzchołek paraboli:

W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)

Odczytujemy współczynniki ze wzoru funkcji:

 a=1

 b=2

 c=-3

Obliczamy wartość wyróżnika \Delta :

\Delta=b^2-4ac=2^2-4 * 1 * (-3)=4+12=16

W=\left(-\cfrac{b}{2a},-\cfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\cfrac{2}{2* 1},-\cfrac{16}{4 * 1}\right)=(-1,-4)

Zatem wierzchołkiem paraboli jest punkt:

W=(-1,-4)

Ponieważ \Delta>0 to obliczamy pierwiastki funkcji kwadratowej ( miejsca zerowe):

x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2-4}{2}=-3

x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\cfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2+4}{2}=1

Punkty przecięcia paraboli z osią OX to:

(-3,0)

(1,0)

Zaznaczamy wszystkie trzy punkty w układzie współrzędnych:

Rysujemy parabolę:


Zadanie 1

Naszkicuj wykres funkcji y=x^2-x-2.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wykres pewnej funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c znajduje się na rysunku poniżej.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

f(x)=ax^2+bx+c

Wskaż przybliżony wykres funkcji f wiedząc, że \Delta>0 oraz a<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Sporządź wykres funkcji kwadratowej danej wzorem: f(x)=x^2-6x+5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest x=3. Wykres tej funkcji przecina oś OY w punkcie P=(0,6). Wyznacz wzór tej funkcji, a następnie naszkicuj jej  wykres.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Sporządź wykres funkcji kwadratowej f, o której wiadomo, że prosta x=-2 jest osią symterii paraboli, do wykresu należy punkt (0,5), a zbiór wartości funkcji to przedział [-3,+\infty).

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz