Zdajesz maturę z matematyki bo MUSISZ? ==> Zobacz Ekspresowy Kurs Maturalny <== i przygotuj sie do matury nawet w 7 dni!

Przekroje ostrosłupów.


Różne przekroje ostrosłupów.

Poniżej kilka przykładów przekrojów ostrosłupów płaszczyzną:

  •  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.

 

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa:

  •  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych:

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krótszą przekątną podstawy i krawędź boczną:

 

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i krawędź boczną:

Przykład 1

Kąt między ścianami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy oraz krawędź boczną.

W zadaniu mamy obliczyć pole powierzchni następującego przekroju:

Zatem musimy znać wysokość ostrosłupa, oraz przekątną podstawy. Wówczas z wzrou

obliczymy szukane pole. W treści zadania mamy dane dwie rzeczy: długość krawędzi podstawy oraz kąt między ścianami bocznymi .

 

Na powyższym obrazku odcinek oraz są prostopadłe do krawędzi . Ponieważ podstawą ostrosłupa jest kwadrat, to przekątna podstawy ma długość . Pozostaje nam do obliczenia wysokość ostrosłupa. Skorzystamy z podobieństwa trójkątów. Spójrz na poniższy rysunek:

 

Trójkąt   jest podobny do trójkąta , ponieważ mają takie same kąty. Zauważ, że oba trójkąty mają kąty proste oraz wspólny kąt przy wierzchołku . Prawdziwa jest zatem proporcja:

Odcinek jest to połowa długości przekątnej, dlatego ma długość

.

Wprowadzimy oznaczenia:

Przy tych oznaczeniach proporcja wygląda następująco:

Teraz przejdziemy do wyznaczenia długości poszczególnych odcinków w tej proporcji, aby móc wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

Weźmy pod uwagę trójkąt :

Odcinek to połowa długości przekątnej, dlatego ma dlugość

.

Obliczamy :

 

Rozważmy drugi trójkąt :

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tego trójkąta, obliczymy długość odcinka :

Wyznaczyliśmy długości wszystkich potrzebnych odcinków, wracamy do proporcji:

Obliczamy długość wysokości:

Znamy już wysokość ostrosłupa, możemy obliczyć pole przekroju:

 




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Czworościan
  2. Graniastosłup
  3. Kula
  4. Ostrosłup
  5. Prostopadłościan
  6. Przekroje graniastosłupów.
  7. Stożek
  8. Sześcian
  9. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
  10. Walec

Zadania do przećwiczenia (1):

Liceum » Geometria w przestrzeni (Stereometria) » #316
2

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa wynosi . Oblicz objętość tego ostrosłupa i pole powierzchni bocznej jeżeli krawędź podstawy ma długość .


P
D

Zobacz zadania z działu geometria w przestrzeni (stereometria)(73)


Komentarze (
0
):

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi. Rozumiem