Drukuj

Różne przekroje ostrosłupów.

Poniżej kilka przykładów przekrojów ostrosłupów płaszczyzną:

 

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa:

  •  Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych:

 

  • Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i krawędź boczną:

Przykład 1

Kąt między ścianami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 2\alpha. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy oraz krawędź boczną.

W zadaniu mamy obliczyć pole powierzchni następującego przekroju:

Zatem musimy znać wysokość H ostrosłupa, oraz przekątną podstawy. Wówczas z wzrou

P=\cfrac{|BD| * H}{2}

obliczymy szukane pole. W treści zadania mamy dane dwie rzeczy: długość krawędzi podstawy a oraz kąt między ścianami bocznymi 2\alpha.

 

Na powyższym obrazku odcinek BE oraz DE są prostopadłe do krawędzi CS. Ponieważ podstawą ostrosłupa jest kwadrat, to przekątna podstawy ma długość a\sqrt{2}. Pozostaje nam do obliczenia wysokość ostrosłupa. Skorzystamy z podobieństwa trójkątów. Spójrz na poniższy rysunek:

 

Trójkąt OSC  jest podobny do trójkąta OEC, ponieważ mają takie same kąty. Zauważ, że oba trójkąty mają kąty proste oraz wspólny kąt przy wierzchołku C. Prawdziwa jest zatem proporcja:

\cfrac{|CE|}{|EO|}=\cfrac{|OC|}{|OS|}

Odcinek |OC| jest to połowa długości przekątnej, dlatego ma długość

|OC|=\cfrac{a\sqrt{2}}{2}.

Wprowadzimy oznaczenia:

H=|OS|

h=|OE|

x=|CE|

Przy tych oznaczeniach proporcja wygląda następująco:

\cfrac{x}{h}=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H}

Teraz przejdziemy do wyznaczenia długości poszczególnych odcinków w tej proporcji, aby móc wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

Weźmy pod uwagę trójkąt OBE:

Odcinek OB to połowa długości przekątnej, dlatego ma dlugość

|OB|=\cfrac{a\sqrt{2}}{2}.

Obliczamy h:

\tan\alpha=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{h}

 

h=\cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha}

Rozważmy drugi trójkąt OCE:

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tego trójkąta, obliczymy długość odcinka |CE|:

h^2+x^2=(\cfrac{a\sqrt{2}}{2})^2

h^2+x^2=\cfrac{2a^2}{4}

x^2=\cfrac{a^2}{2}-h^2

x^2=\cfrac{a^2}{2}-(\cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha})^2=\cfrac{a^2}{2}-\cfrac{a^2 * 2}{4\tan^2\alpha}=\cfrac{a^2}{2}-\cfrac{a^2 }{2\tan^2\alpha}=a^2(\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2\tan^2\alpha})

x=\sqrt{a^2(\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2\tan^2\alpha})}=\cfrac{a}{\tan\alpha}\sqrt{\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2}}

Wyznaczyliśmy długości wszystkich potrzebnych odcinków, wracamy do proporcji:

\cfrac{x}{h}=\cfrac{\cfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H}

H=\cfrac{ah\sqrt{2}}{2x}

Obliczamy długość wysokości:

H=\cfrac{a* \cfrac{a\sqrt{2}}{2\tan\alpha} * \sqrt{2}}{2 * \cfrac{a}{\tan\alpha} \sqrt{\cfrac{\tan^2\alpha-1}{2}} }=\cfrac{a}{\sqrt{2(\tan^2\alpha-1)}}

Znamy już wysokość ostrosłupa, możemy obliczyć pole przekroju:

P=\cfrac{1}{2}* |BD| * H=\cfrac{1}{2}* \cfrac{a\sqrt{2}}{2}* \cfrac{a}{\sqrt{2(\tan^2\alpha-1)}}=\cfrac{a^2}{4\sqrt{\tan^2\alpha-1}}

 


Zadanie 1

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego poprowadzona z wierzchołka tego ostrosłupa ma długość \sqrt{3}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeżeli kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2
Premium

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa wynosi 60^{\circ}. Oblicz objętość tego ostrosłupa i pole powierzchni bocznej jeżeli krawędź podstawy ma długość \sqrt{6} .

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz