Różne przekroje ostrosłupów.
Poniżej kilka przykładów przekrojów ostrosłupów płaszczyzną:
- Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.
- Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa:
- Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych:
- Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez krótszą przekątną podstawy i krawędź boczną:
- Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i krawędź boczną:
Kąt między ścianami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość
. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy oraz krawędź boczną.
W zadaniu mamy obliczyć pole powierzchni następującego przekroju:
Zatem musimy znać wysokość ostrosłupa, oraz przekątną podstawy. Wówczas z wzrou
obliczymy szukane pole. W treści zadania mamy dane dwie rzeczy: długość krawędzi podstawy oraz kąt między ścianami bocznymi
.
Na powyższym obrazku odcinek oraz
są prostopadłe do krawędzi
. Ponieważ podstawą ostrosłupa jest kwadrat, to przekątna podstawy ma długość
. Pozostaje nam do obliczenia wysokość ostrosłupa. Skorzystamy z podobieństwa trójkątów. Spójrz na poniższy rysunek:
Trójkąt jest podobny do trójkąta
, ponieważ mają takie same kąty. Zauważ, że oba trójkąty mają kąty proste oraz wspólny kąt przy wierzchołku
. Prawdziwa jest zatem proporcja:
Odcinek jest to połowa długości przekątnej, dlatego ma długość
.
Wprowadzimy oznaczenia:
Przy tych oznaczeniach proporcja wygląda następująco:
Teraz przejdziemy do wyznaczenia długości poszczególnych odcinków w tej proporcji, aby móc wyznaczyć wysokość ostrosłupa.
Weźmy pod uwagę trójkąt :
Odcinek to połowa długości przekątnej, dlatego ma dlugość
.
Obliczamy :
Rozważmy drugi trójkąt :
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tego trójkąta, obliczymy długość odcinka :
Wyznaczyliśmy długości wszystkich potrzebnych odcinków, wracamy do proporcji:
Obliczamy długość wysokości:
Znamy już wysokość ostrosłupa, możemy obliczyć pole przekroju:
Ćwiczenia z zaznaczania kątów i przekrojów w stereometrii
Lista wszystkich kątów i przekrojów, które powinieneś umieć zaznaczyć w stereometrii, aby żadne zadanie na maturze Cię nie zaskoczyło.Zobacz rozwiązanieWysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego poprowadzona z wierzchołka tego ostrosłupa ma długość
. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeżeli kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.
Zobacz rozwiązanieDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa wynosi
. Oblicz objętość tego ostrosłupa i pole powierzchni bocznej jeżeli krawędź podstawy ma długość
.
Przeczytaj także:
COMMENT_CONTENT