Drukuj

Co to jest czworościan foremny?

Definicja: Czworościan foremny

Czworościanem foremnym nazywamy ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

Wszystkie krawędzie czworościanu foremnego mają taką samą długość.

Spójrz na rysunek poniżej:


\alpha - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

\beta - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

H - wysokość czworościanu

h - wysokość podstawy

UWAGA!

Wysokość czworościanu dzieli wysokość podstawy na dwa odcinki w stosunku 2:1.

|AS|:|SB|=2:1

Wzór: Pole powierzchni czworościanu foremnego

P=a^2\sqrt{3}

Jest to pole 4 trójkątów równobocznych o boku długości a.

Wzór: Objętość czworościanu foremnego

 V=\cfrac{a^3\sqrt{2}}{12}

Przykład 1

Oblicz wysokość czworościanu o boku długości \sqrt{6}.

Najpierw rysujemy rysunek pomocniczy do zadania:

 Z treści zadania wiemy, że:

a=\sqrt{6}

Ponieważ podstawą czworościanu jest trójkąt równoboczny, to długość wysokości tej podstawy to:

h=\cfrac{a\sqrt{3}}{2}=\cfrac{ \sqrt{6} \sqrt{3}}{2}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}

Z własności czworościanu wynika, że odcinek AB to \cfrac{2}{3} wysokości podstawy. Zatem:

|AB|=\cfrac{2}{3} * h=\cfrac{2}{3} * \cfrac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa ( do trójkąta prostokątnego ABC) aby obliczyć wysokości czworościanu:

|BC|^2+|AB|^2=|AC|^2

H^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2

H^2+2=6

H^2=6-2=4

H=2


Zadanie 1

Oblicz objętość czworościanu o boku długości a=3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2
Premium

Wykaż, że objętość czworościanu o boku długości a wynosi V=\cfrac{a^3\sqrt{2}}{12}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz