Działania na przedziałach liczbowych

3

Suma, różnica, iloczyn przedziałów liczbowych.

Działania na przedziałach liczbowych, zostaną przedstawione przy poniższych oznaczeniach.

Przedział [tex]A[/tex], to:

[tex]A=(a,b][/tex]

Przedział [tex]B[/tex], to:

[tex]B=(c,d)[/tex]

Oba przedziały spełniają jeszcze poniższe warunki:

[tex]a,b,c,d \in \mathbb{R}[/tex]

[tex]a<c<b<d[/tex]

Na przedziałach będziemy obliczać sumę, różnicę i ich iloczyn.

przedziałów liczbowych.

 

Definicja: Suma przedziałów liczbowych

[tex]A\cup B[/tex].

Sumą przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do przynajmniej jednego z tych przedziałów.

Przykład:

Dla przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] zdefiniowanych na początku, sumą przedziałów jest:

 

Definicja: Iloczyn przedziałów liczbowych. (część wspólna)
[tex]A\cap B[/tex].

Iloczynem przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do obu tych przedziałów jednocześnie.

Przykład:

Dla przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] zdefiniowanych na początku, iloczynem przedziałów jest:


 

Definicja: Różnica przedziałów liczbowych.

[tex]A\backslash B[/tex]

Różnicą przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które należą do [tex]A[/tex] i nie należą do [tex]B[/tex].

Przykład:

Dla przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] zdefiniowanych na początku, różnicą przedziałów jest

 

UWAGA!

Zwróć uwagę, że powyższym przykładzie punkt $c$ należy do różnicy przedziałów $A\backslash B$!. Jest tak ze względu na to, że punkt $c$ należy do przedziału $A$, natomiast nie należy do przedziału $B$. Zgodnie z definicją różnicy przedziałów, jest to zbiór tych punktów, które należą do pierwszego przedziału a nie należą do drugiego. Zatem ten punkt $c$ musimy dołączyć.

 

 

Przykład podsumowujący:

Niech: [tex]A=(0,5][/tex] i [tex]B=[2,6][/tex], wtedy:

[tex]A=(0,5][/tex] - na rysunku zaznaczony kolorem zielonym i niebieskim

[tex]B=[2,6][/tex] - na rysunku zaznaczony kolorem żółtym i niebieskim

Kolorem niebieskim została zaznaczona część, która należy do obu przedziałów jednocześnie.

 

  • Suma przedziałów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex], to

[tex]A \cup B=(0,6][/tex]

Znajdują się tu wszystkie liczby, które należą przynajmniej do jednego z przedziałów [tex]A[/tex] lub [tex]B[/tex].

  • Iloczyn przedziałów, to inaczej mówiąc ich część wspólna. Jeżeli z przedziału [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] wybierzemy liczby, które należą jednocześnie do obu, to otrzymamy:

[tex]A \cap B=[2,5][/tex]

  • Różnica przedziałów. Tutaj mamy do rozważenia dwa przypadki. Możemy wskazać różnicę [tex]A \backslash B[/tex], czyli liczby, które należą do przedziału [tex]A[/tex],  a nie należą do przedziału [tex]B[/tex] i wtedy otrzymamy:

[tex]A \backslash B=(0,2)[/tex]

Z drugiej strony, możemy wskazać zbiór [tex]B\backslash A[/tex], czyli te liczby, które należą do zbioru [tex]B[/tex] i nie należą do zbioru [tex]A[/tex], są to:

[tex]B \backslash A=(5,6][/tex]

Do góry
  • Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.
    Approved-icon Alert-icon
  • $A=(1,6)$, $B=(0,10)$. Wtedy $A \cup B=(0,10)$
  • $A=(1,6)$, $B=(0,1)$. Wtedy $A \cap B=\{1\}$
  • $A=(-7,2]$, $B=(0,4]$. Wtedy $A \backslash B=(-7,0]$
  • $A=[-3,5)$, $B=[0,2)$. Wtedy $A \cap B=[0,2)$
  • $A=(1,+\infty)$, $B=(0,10)$. Wtedy $A \backslash B=(10,+\infty)$


Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Zadania do przećwiczenia (2):

Liceum » Wartość bezwzględna » #389
0

Zapisz za pomocą jednego przedziału zbiór [tex]A\cap B[/tex], gdzie [tex]A=(2,+\infty),\ B=(-10,15][/tex], a następnie zaznacz go na osi liczbowej.

P
K
Zobacz rozwiązanie
Liceum » Liczby rzeczywiste » #710
4

Dane są zbiory [tex]A=[-1,5)[/tex]  oraz   [tex]B=[1,6)[/tex]. Wskaż zbiór zawierający wszystkie liczby całkowite należące do [tex]A\cap B[/tex].

P
T
Zobacz rozwiązanie
Podobne (4)

Komentarze (
3
):

  • Kasiad_20111204135107_thumb Kasiad pisze:
    11.12.2011 13:00 i 53 sekund

    Przedstawione są tu przykłady gdzie zbiory A i B są inne a gdyby były takie same to jak wyglądała by ich różnica ? Lekcja jest fajnie przedstawiona i tylko to jedno pytanie mnie nurtuje . Zgury dzięki :D

  • Cordi_20120228224758_thumb Cordi pisze:
    18.03.2012 21:49 i 54 sekund

    Pokrywają się, wszystkie punkty należą do obu zbiorów. Nie ma punktu, który należy tylko do jednego. Czyli byłby to po prostu zbiór pusty.

  • Użytkownik malgorzata jest redaktorem.
    Malgorzata_20120129080240_thumb malgorzata pisze:
    10.04.2012 19:20 i 23 sekund

    Zgadza się, jeżeli oba zbiory będą takie same, to ich różnica będzie zbiorem pustym.

Do góry