Dzielenie wielomianów.

Spis treści

1. Twierdzenia wprowadzające do dzielenia wielomianów.
2. Dzielenie wielomianów.
3. Schemat Hornera

---

Twierdzenia wprowadzające do dzielenia wielomianów.

W tej części nauki omówimy w jaki sposób wykonujemy operację dzielenia na wielomianach.

 

[tex]P(x)=Q(x) \cdot S(x)[/tex].

Sprawdźmy:

[tex]Q(x) \cdot S(x)=(x+1)(x^2-4)=x^3-4x+x^2-4=[/tex]

[tex]=x^3+x^2-4x-4=P(x)[/tex]

 

Jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących podzielności wielomianów to Twierdzenie Bezouta. Jego treść jest następująca:

 

Z Twierdzenia Bezouta wynika, że pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)[/tex] jest liczba [tex]x=3[/tex]. Czyli wartość tego wielomianu dla tego argumentu jest równa [tex]0[/tex].

[tex]W(3)=3^3-b \cdot 3^2-3+3=27-9b=0 [/tex]

[tex]27=9b[/tex]

[tex]b=3[/tex]

 

 

 

Obliczmy resztę z dzielenia dowolnego wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x-a[/tex]. Z powyższego twierdzenia wynika, że:

  [tex]W(x)=(x-a)\cdot Q(x) + R(x)[/tex].

Obliczmy [tex]W(a)[/tex]:

  [tex]W(a)=(a-a)\cdot Q(a) + R(a)=0 \cdot Q(a)+R(p)=R(a)[/tex].

 

Dzielenie wielomianów.

Powyżej zostały przedstawione najważniejsze twierdzenia dotyczące podzielności wielomianów. Teraz przedstawimy w jaki sposób wykonuje się dzielenie wielomianów.

 

Podzielimy wielomian [tex]W(x)=2x^3+x^2-5x+1[/tex] przez dwumian [tex]x+2[/tex].

•  Zapisujemy oba wielomiany w następującej postaci:

 

[tex]\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2[/tex]

 

• Dzielimy pierwszy składnik wielomianu [tex]W(x)[/tex] (czyli [tex]2x^3[/tex] ) przez pierwszy składnik dwumianu  (czyli [tex]x[/tex]). Otrzymany wynik, zapisujemy nad kreską:

 

[tex]2x^2[/tex]

[tex]\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2[/tex]

 

• Wynik poprzedniego dzielenia, czyli [tex]2x^2[/tex], mnożymy przez dwumian [tex]x+2[/tex], a wynik zapisujemy pod wielomianem [tex]W(x)[/tex]:

 

[tex]2x^2[/tex]

[tex]\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2[/tex]

[tex]2x^3+4x^2[/tex]

 

 

• Wykonujemy odejmowanie. Od wielomianu [tex]W(x)[/tex] odejmujemy wielomian zapisany pod nim. Wynik zapisujemy pod kreską:

 

[tex]2x^2[/tex]

[tex]\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2[/tex]

[tex]\underline{2x^3+4x^2}[/tex]

         [tex]-3x^2-5x+1[/tex]

 

Wykonujemy kolejne operacje analogicznie jak poprzednio. Algorytm kończy się w momencie uzyskania wielomianu, o stopniu niższym od tego przez który dzielimy.

 

[tex]2x^2-3x+1[/tex]

[tex]\overline{2x^3+x^2-5x+1}: \quad x+2[/tex]

[tex]\underline{2x^3+4x^2}[/tex]

         [tex]-3x^2-5x+1[/tex]

         [tex]\underline{-3x^2-6x}[/tex]

                           [tex]x+1[/tex]

                           [tex]\underline{x+2}[/tex]

                                 [tex]-1[/tex]

 

Otrzymana liczba [tex]-1[/tex] jest resztą z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x+2[/tex]. Wielomian [tex]W(x)[/tex] możemy zapisać jako:

[tex]W(x)=(x+2)(2x^2-3x+1)-1[/tex]

Schemat Hornera

Schemat Hornera jest to algorytm, który pozwala na:

• dzielenie wielomianów przez dwumian [tex]x-a[/tex]
• sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
• obliczanie wartości wielomianu dla pewnego argumentu.

Aby móc wykonywać algorytm Hornera, trzeba wiedzieć w jaki sposób tworzy się tabelkę.

Dany mamy wielomian:

[tex]W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0[/tex]

Współczynniki wielomianu wpisujemy w górnym wierszu tabeli:

 W dolnym wierszu w pierwszej kratce wpisujemy wartość argumentu, dla którego chcemy obliczyć wartość wielomianu (lub jeżeli chcemy podzielić wielomian przez dwumian [tex]x-a[/tex], wartość [tex]a[/tex]). W drugiej kratce wpisujemy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu.

Jak dalej wykonujemy obliczenia za pomocą tabelki Hornera pokażemy na przykładzie.

• Zaczynamy od narysowania tabelki:

W pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki wielomianu [tex]W(x)[/tex], a w drugim wierszu wpisujemy [tex]-2[/tex] (ponieważ dzielimy przez dwumian [tex]x+2[/tex]), oraz współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu [tex]W(x)[/tex]. Ponieważ wielomian [tex]W(x)[/tex] nie ma potęgi [tex]x^2[/tex], więc oznacza to, że współczynnik przy tej potędze jest równy [tex]0[/tex], co również musimy wpisać do tabeli.

• Wypełniamy tabelę:

Aby uzupełnić pustą kratkę, mnożymy [tex]a=-2[/tex] przez liczbę, która znajduje się w poprzedniej wypełnionej kratce ( w tym wypadku jest to [tex]1[/tex]) i dodajemy liczbę, która znajduje się nad pustą kratką.

Kolejne kratki uzupełniamy analogicznie:

 

• Odczytujemy wyniki:

Wartość wielomianu [tex]W(x)[/tex] dla argumentu [tex]x=-2[/tex] jest równa [tex]-13[/tex]. Jest to ostatnia kratka w drugim wierszu. Sprawdzamy:

[tex]W(x)=x^4+3x^3+x-3[/tex]

[tex]W(-2)=(-2)^4+3 \cdot (-2)^3+(-2)-3=16-24-5=-13[/tex]

Po podzieleniu wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x+2[/tex] otrzymujemy:

Wielomian [tex]P(x)[/tex] o stopień niższy niż wielomian [tex]W(x)[/tex] i resztę z dzielenia tego wielomianu. Odczytujemy z tabeli współczynniki wielomianu [tex]P(x)[/tex] oraz resztę z dzielenia:

 

[tex]P(x)=x^3+x^2-2x+5[/tex]

Reszta z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x+2[/tex] to:

[tex]R=-13[/tex].

Możemy zapisać, że:

[tex]W(x)=P(x)(x+2)+R[/tex]

[tex]W(x)=(x^3+x^2-2x+5)(x+2)-13[/tex].

Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do sprawdzenia, czy wartość wielomianu [tex]W(x)[/tex] dla argumentu [tex]x=2[/tex] jest równa [tex]0[/tex]. Tzn, czy ostatnia kratka w drugim wierszu tabeli Hornera  po wykonaniu algorytmu będzie równa [tex]0[/tex].

Tworzymy i wypełniamy tabelę:

  

 

Widzimy, że w ostatniej kratce, drugiego wiersza tabeli otrzymaliśmy wartość [tex]0[/tex]. Oznacza to, że liczba [tex]x=2[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W(x)[/tex].

 

---

Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Liceum » Wielomiany » #559

Wielomian [tex]W(x)=x^4+x^3+ax^2+bx+c[/tex] jest podzielny przez [tex]x^2-4x+3[/tex]. Reszta z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x+3[/tex] wynosi [tex]-48[/tex]. Oblicz współczynniki [tex]a,\ b,\ c[/tex].

---

Liceum » Wielomiany » #556

Dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], reszta z dzielenia wielomianu

[tex]W(x)=(m+15)x^{30}+(m-15)x^{29}+(m+14)x^{28}+(m-14)x^{27}+...[/tex]

[tex]+(m+1)x^{2}+(m-1)x+m^2-m[/tex]

przez dwumian [tex]x+1[/tex] jest równa [tex]246[/tex].

---

Liceum » Wielomiany » #566

Reszta z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez trójmian [tex]x^2-x-6[/tex] wynosi [tex]2x-1[/tex]. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu [tex]W(x)[/tex] przez dwumian [tex]x-3[/tex].

---