Dzielenie wielomianów.


Spis treści

  1. Twierdzenia wprowadzające do dzielenia wielomianów.
  2. Dzielenie wielomianów.
  3. Schemat Hornera

Twierdzenia wprowadzające do dzielenia wielomianów.

W tej części nauki omówimy w jaki sposób wykonujemy operację dzielenia na wielomianach.

 

Definicja: Podzieloność wielomianów

Mówimy, że wielomian jest podzielny przez wielomian (gdzie wielomian jest różny od wielomianu zerowego), jeżeli istnieje taki wielomian , że:

.

Przykład 1

Wielomian jest podzielny przez wielomian , ponieważ  istnieje wielomian taki, że jest spełniona równość:

.

Sprawdźmy:

 

Jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących podzielności wielomianów to Twierdzenie Bezouta. Jego treść jest następująca:

 

Twierdzenie: Bezouta

Liczba jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian .

Przykład 2

Wyznacz współczynnik wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian .

Z Twierdzenia Bezouta wynika, że pierwiastkiem wielomianu jest liczba . Czyli wartość tego wielomianu dla tego argumentu jest równa .

 

 

Twierdzenie: O dzieleniu wielomianów z resztą

Jeśli oraz są wielomianami i nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany oraz , że:

,

gdzie stopień wielomianu   jest mniejszy od stopnia wielomianu  . Jeżeli wielomian jest podzielny przez wielomian to jest wielomianem zerowym ( tzn. ).

 

Obliczmy resztę z dzielenia dowolnego wielomianu przez dwumian . Z powyższego twierdzenia wynika, że:


  .

Obliczmy :

  .

Twierdzenie: O reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian , jest równa .

 

  • Dany jest wielomian:. Wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian wynosi . Oceń poprawność zdań.
    Approved-icon Alert-icon

  • .
  • Pierwiastkiem wielomianu jest liczba
  • Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa

Dzielenie wielomianów.

Powyżej zostały przedstawione najważniejsze twierdzenia dotyczące podzielności wielomianów. Teraz przedstawimy w jaki sposób wykonuje się dzielenie wielomianów.

 

Podzielimy wielomian przez dwumian .

  •  Zapisujemy oba wielomiany w następującej postaci:

 

 

  • Dzielimy pierwszy składnik wielomianu (czyli ) przez pierwszy składnik dwumianu  (czyli ). Otrzymany wynik, zapisujemy nad kreską:

 

 

  • Wynik poprzedniego dzielenia, czyli , mnożymy przez dwumian , a wynik zapisujemy pod wielomianem :

 

 

 

  • Wykonujemy odejmowanie. Od wielomianu odejmujemy wielomian zapisany pod nim. Wynik zapisujemy pod kreską:

 

        

 

Wykonujemy kolejne operacje analogicznie jak poprzednio. Algorytm kończy się w momencie uzyskania wielomianu, o stopniu niższym od tego przez który dzielimy.

 

        

        

                          

                          

                                

 

Otrzymana liczba jest resztą z dzielenia wielomianu przez dwumian . Wielomian możemy zapisać jako:

  • Dany jest wielomian . Jeżeli: lub to:
    Approved-icon Alert-icon

Schemat Hornera

Schemat Hornera jest to algorytm, który pozwala na:

  • dzielenie wielomianów przez dwumian
  • sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
  • obliczanie wartości wielomianu dla pewnego argumentu.

Aby móc wykonywać algorytm Hornera, trzeba wiedzieć w jaki sposób tworzy się tabelkę.

Dany mamy wielomian:

Współczynniki wielomianu wpisujemy w górnym wierszu tabeli:

 W dolnym wierszu w pierwszej kratce wpisujemy wartość argumentu, dla którego chcemy obliczyć wartość wielomianu (lub jeżeli chcemy podzielić wielomian przez dwumian , wartość ). W drugiej kratce wpisujemy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu.

Jak dalej wykonujemy obliczenia za pomocą tabelki Hornera pokażemy na przykładzie.

Przykład 3

Za pomocą Schematu Hornera podzielić wielomian przez dwumian oraz oblicz wartość wielomianu dla argumentu .

  • Zaczynamy od narysowania tabelki:


W pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki wielomianu , a w drugim wierszu wpisujemy (ponieważ dzielimy przez dwumian ), oraz współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu . Ponieważ wielomian nie ma potęgi , więc oznacza to, że współczynnik przy tej potędze jest równy , co również musimy wpisać do tabeli.

  • Wypełniamy tabelę:

Aby uzupełnić pustą kratkę, mnożymy przez liczbę, która znajduje się w poprzedniej wypełnionej kratce ( w tym wypadku jest to ) i dodajemy liczbę, która znajduje się nad pustą kratką.

Kolejne kratki uzupełniamy analogicznie:

 

  • Odczytujemy wyniki:

Wartość wielomianu dla argumentu jest równa . Jest to ostatnia kratka w drugim wierszu. Sprawdzamy:

Po podzieleniu wielomianu przez dwumian otrzymujemy:

Wielomian o stopień niższy niż wielomian i resztę z dzielenia tego wielomianu. Odczytujemy z tabeli współczynniki wielomianu oraz resztę z dzielenia:


 

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian to:

.

Możemy zapisać, że:

.

Przykład 4

Za pomocą schematu Hornera, sprawdź czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu .

Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do sprawdzenia, czy wartość wielomianu dla argumentu jest równa . Tzn, czy ostatnia kratka w drugim wierszu tabeli Hornera  po wykonaniu algorytmu będzie równa .

Tworzymy i wypełniamy tabelę:

  

 

Widzimy, że w ostatniej kratce, drugiego wiersza tabeli otrzymaliśmy wartość . Oznacza to, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu .

UWAGA!

Oznacza to również, że:

  • wielomian jest podzielny przez dwumian ,
  • wartość wielomianu dla argumentu jest równa .

 




Jeżeli materiał był dla Ciebie pomocny, pomóż nam w promocji i podziel się z innymi linkiem.
Kliknij w poniższe przyciski. Dzięki :)

Przydatne

Inne osoby czytały także

  1. Definicja wielomianu, działania na wielomianach.
  2. Nierówności wielomianowe.
  3. Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
  4. Rozkład wielomianu na czynniki
  5. Rozwiązywanie równań wielomianowych
  6. Równanie wielomianowe

Zadania do przećwiczenia (3):

Liceum » Wielomiany » #559
0

Wielomian jest podzielny przez . Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian wynosi . Oblicz współczynniki .


R
D
Liceum » Wielomiany » #556
5

Dla jakich wartości parametru , reszta z dzielenia wielomianu

przez dwumian jest równa .


R
D
Liceum » Wielomiany » #566
1

Reszta z dzielenia wielomianu przez trójmian wynosi . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian .


R
K

Zobacz zadania z działu wielomiany(52)


Komentarze (
0
):