Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki równania $-2x^{2}+mx-2m=0$ są większe od 1

Zadanie dodane przez karola630 , 12.11.2012 18:20

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 13.11.2012 07:18

Pierwszy warunek, to $\Delta >0$ (aby istniały dwa pierwiastki):

$m^2-16m>0$
$m(m-16)>0$
$\Downarrow$
$m\in (-\infty , 0)\cup (16, +\infty )$

Teraz jeszcze uwzględnijmy, że $x_1>1 \wedge x_2>1$

Równania pierwiastków są następujące:

$x_1=\cfrac{-m-\sqrt{m^2-16m}}{-4}=\cfrac{m+\sqrt{m^2-16m}}{4}$

$x_2=\cfrac{-m+\sqrt{m^2-16m}}{-4}=\cfrac{m-\sqrt{m^2-16m}}{4}$

Stąd:

$\cfrac{m+\sqrt{m^2-16m}}{4}>1$

$m+\sqrt{m^2-16m}>4$

$\sqrt{m^2-16m}>4-m$

1) $m\leqslant 4$ :

$m^2-16m>16-8m+m^2$

$-8m>16$

$m<-2$

2) $m>4$

wtedy $m\in\mathbb{R}$

Stąd otrzymujemy $m<-2 \vee m>16$

oraz

$\cfrac{m-\sqrt{m^2-16m}}{4}>1$

$m-\sqrt{m^2-16m}>4$

$\sqrt{m^2-16m}<m-4$

1) $m>4$

$m^2-16m<m^2-8m+16$

$-8m<16$

$m>-2$

Stąd $m>16$

2) $m\leqslant 4$

Wtedy nierówność sprzeczna, więc $m\in \emptyset$

Podsumowując rozwiązaniem jest przedział:

$m\in \left [ (-\infty ,-2)\cup (16,+\infty ) \right ]\cap (16,+\infty ) =(16,+\infty )$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki równania $-2x^{2}+mx-2m=0$ są większe od 1

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: