Masz pytania? Zadzwoń: (12) 400 46 75 lub napisz.

Dla jakich n € N liczba: n^2 + 4n - 8 jest kwadratem liczby naturalnej?

Zadanie 119 (rozwiązane)

Pakiet matura 2020 Kurs i poradniki 50% taniej

Nie przegap okazji! Testuj kurs przez 14 dni bez żadnego ryzyka. Dowiedz się więcej
Zadanie dodane przez daniel5022 , 14.10.2011 17:07
Default avatar
Dla jakich n € N liczba: n^2 + 4n - 8 jest kwadratem liczby naturalnej?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Nepeese , 16.10.2011 15:54
Nepeese 20111014162707 thumb
Wprowadzamy sobie x, które będzie rozwiązaniem zadania.
x € N

n^{2} + 4n - 8 = x^{2}
( n + 2 )^{2} - 12 = x^{2}
( n + 2 )^{2} - x^{2} = 12
( n + 2 - x ) ( n + 2 + x ) = 12

Obydwa nawiasy są naturalne, więc musimy rozważyć dzielniki 12.
12 = 1 * 12 = 2 * 6 = 3 * 4
Ponadto mamy pewność, że:
n + 2 + x > n + 2 - x
bo 2x > 0
Odrzucamy przypadek, dla którego x = 0, ponieważ:
( n + 2 )^{2} = 12
n = +/-\sqrt{12} - 2
A to na pewno nie jest liczbą naturalną.

Rozważamy więc trzy układy równań:
1)
n + 2 - x = 1
n + 2 + x = 12
Z którego mamy:
x = 5,5
2)
n + 2 - x = 2
n + 2 + x = 6
Z którego mamy:
x = 2
3)
n + 2 - x = 3
n + 2 + x = 4
Z którego mamy:
x = 1,5

Jedynym poprawnym, naturalnym rozwiązaniem jest x = 2.
Podstawiamy je sobie do równania:
( n + 2 )^{2} - 12 = x^{2}
I otrzymujemy:

( n + 2 )^{2} - 12 = 2^{2}
( n + 2 )^{2} = 16
n + 2 = +/- 4
n = 2 v n = -6
Drugi wynik nie jest liczbą naturalną.
A więc jedynym poprawnym rozwiązaniem zadania jest n = 2.
    • Default avatar
      daniel5022 16.10.2011 17:00

      n2 + 4n - 8 = x2
      (n+2)2 - 12 = x2
      (n+2)2 - x2 = 12
      ( n + 2 - x ) ( n + 2 + x ) = 12

      Nie rozumiem tego. skąd się wzięło:
      (n+2)2 - 12 = x2
      i cala reszta

    • Nepeese 20111014162707 thumb
      Nepeese 16.10.2011 21:24

      Stosujesz wzory skróconego mnożenia.
      Rozpiszę po kolei przekształcenia.

      n^{2} + 4n - 8 = x^{2}
      n^{2} + 4n + 4 - 4 - 8 = x^{2}
      ( n^{2} + 4n + 4 ) -12 = x^{2}
      ( n^{2} + 2*2*n + 2^{2} ) = x^{2}

      Teraz stosujesz wzór:
      a^{2} + 2ab + b^{2} = ( a + b )^{2}
      U nas: a = n, b = 2

      ( n + 2 )^{2} - 12 = x^{2}
      ( n + 2 )^{2} - x^{2} = 12

      Teraz inny wzór:
      a^{2} - b^{2} = ( a - b ) ( a + b )
      U nas: a = n + 2, b = x
      I dostajemy to:
      ( n + 2 - x ) ( n + 2 + x ) = 12

      Która część jest jeszcze niejasna? To wytłumaczę dokładniej.

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.