rozwiaż równanie 2x+4=5+3x

Zadanie 2118 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez iwona28 , 23.02.2012 22:43
Default avatar
rozwiaż równanie 2x+4=5+3x

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Nepeese , 23.02.2012 23:58
Nepeese 20111014162707 thumb

<br>b_{n} = ( 1 + \frac{1}{n} )^{n+1}, n \in \mathbb{N}*
<br>



<br>\frac{b_{n+1}}{b_{n}} =
<br>\frac{( 1 + \frac{1}{n+1} )^{n+2}}{ (1 + \frac{1}{n} )^{n+1}} = 
<br>( \frac{ 1 + \frac{1}{n+1}}{ 1 + \frac{1}{n}} )^{n+1} ( 1 + \frac{1}{n+1} ) =
<br>
<br>( \frac{n+2}{n+1} \frac{n}{n+1} )^{n+1}( 1 + \frac{1}{n+1} ) =
<br>( \frac{ n ( n + 2 ) }{( n + 1 )^{2}})^{n+1} ( \frac{n+2}{n+1} ) = 
<br>
<br>( \frac{n^{2} + 2n}{n^{2} + 2n + 1} )^{n+1} ( \frac{n+2}{n+1} ) = 
<br>( \frac{1}{ \frac{n^{2} + 2n + 1}{ n^{2} +2n } } )^{n+1} ( \frac{n+2}{n+1} ) = 
<br>( \frac{1}{ 1 + \frac{1}{n^{2} + 2n} } )^{n+1} ( \frac{n+2}{n+1} )
<br>

Wyrażenie z mianownika pierwszego ułamka będziemy szacować za pomocą nierówności Bernoulliego, tj.:

( 1 + x )^{n} \ge 1 + nx

Gdzie u nas:

<br>x := \frac{1}{n^{2} + 2n}

<br>n := n+1
<br>

Z ów nierówności mamy, że:

<br>( 1 + \frac{1}{n^{2} + 2n})^{n+1} \ge 1 + ( n +1 ) \frac{1}{n^{2} + 2n}
<br>
<br>\frac{1}{1 + \frac{n + 1}{n^2 + 2n}} \ge \frac{1^{n+1}}{( 1 + \frac{1}{n^2 + 2n} )^{n+1}}
<br>

Wracając teraz do głównego ciągu (nie)równości, otrzymujemy:


<br>\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = ... = 
<br>( \frac{1}{ 1 + \frac{1}{n^{2} + 2n} } )^{n+1} ( \frac{n+2}{n+1} ) \le
<br>\frac{1}{1 + \frac{n + 1}{n^2 + 2n}} ( \frac{n+2}{n+1} ) = 
<br>
<br>\frac{n ( n + 2 )}{ n^2 + 3n + 1} (\frac{n + 2}{n + 1}) = 
<br>\frac{n^3 + 4n^2 + 4n}{n^3 + 4n^2 + 4n + 1} \le 1
<br>

Wnioskujemy z tego, że ciąg b_n jest malejący.


<br>\forall n \in \mathbb{N}*: e_n = ( 1 + \frac{1}{n} )^n <   ( 1 + \frac{1}{n} )^n  ( 1 + \frac{1}{n} ) = b_n
<br>
<br>\forall n \in \mathbb{N}*: e_n < b_n
<br>

Wiemy, że:
1) e_n jest rosnący;
2) b_n jest malejący,
a z tych dwóch faktów wynika, że b_n musi być ciągiem ograniczonym.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez charoltt , 24.02.2012 07:52
Charoltt 20120224074622 thumb
2X+4 =5 +3X
-X=1
X=-1
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.