Wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p^2 - 1 jest liczbą podzielną przez 24

aby liczba była podzielna przez 24 musi być podzielna przez 2 i przez 3 i być wielokrotnością 24

p>3

(p^2-1)|24 24k=p^2-1 i k należy do liczb naturalnych
podstawiamy po kolei liczby pierwsze
(5^2-1)=24
(7^2-1)=(49-1)=48
(11^2-1)=(121-1)=120

(p-1)(p+1)=24k
aby liczba 24k była podzielna przez 24 w jednym nawiasie musi być liczba podzielna przez 6 a w drugim przez 4.
z definicji liczb pierwszych wiemy, że wszystkie liczby oprócz 2 są liczbami nieparzystymi. więc
możemy p zapisać jako 2n-1

podstawiając do wzoru (p-1)(p+1)=24k p=2n-1 otrzymujemy:
(2n-1-1)(2n-1+1)=2n(2n-2)=4n(n-1)

wiemy zatem, że liczba podzielna jest przez 4

Pozostało udowodnić, że liczba 24k jest podzielna przez 6
wiemy, ze wszystkie liczby pierwsze po dodaniu lub odjęciu 1 stają się parzyste. w związku z tym są od razu podzielne przez 2 dodatkowo wiemy, że jeżeli odejmujemy i dodajemy w tym samym czasie od liczby pierwszej 1 to różnica między nimi wynosi 3, więc jest to liczba podzielna przez 3 a w dodatku jest podzielna przez dwa bo jest to liczba parzysta.

Enjoy ;)