Rozwiąż równanie : $-x^{3}$ - $3x^{2}$ + 4x = 0

Zadanie 2661 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez mrowa11 , 20.03.2012 21:30
Mrowa11 20120229092932 thumb
Rozwiąż równanie : -x^{3} - 3x^{2} + 4x = 0

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez wilkmathiu , 21.03.2012 08:31
Wilkmathiu 20120321071722 thumb
Mamy równanie sześcienne/wielomian:

0=-x^3 - 3x^2 + 4x.

Oznacza to, że szukamy takich x-ów, dla których wyrażenie po prawej stronie (zwane dalej wielomianem) będzie wynosiło 0. Aby tego dokonać, należałoby rozłożyć wielomian na czynniki (postać iloczynową- a teraz mamy postać ogólną). Najpierw jednak przemnóżmy całość razy -1 (ten minus na początku to niby żaden problem, ale jeżeli to możliwe, to wolę plusa przy najwyższej potędze). Tak więc: mnożymy obustronnie przez -1 i otrzymujemy:

x^3 +3x^2 - 4x = 0

Tak ładniej prawda? No a teraz widzimy, że każdy ze składników wielomianu zawiera x - element który można wyłączyć przed nawias, zatem czyńmy honory:

x(x^2+3x-4)=0

I oto nasz pierwszy sukces. Mamy pierwsze miejsce zerowe, bo gdy x=0 to nasz wielomian też się zeruje. Eureka? No.. nie do końca, bo zostało nam jeszcze do rozwiązania równanie kwadratowe, a jak równanie kwadratowe, to wyznaczamy deltę (\Delta). No to do dzieła...

Do Matury został miesiąc z okładem, a tych wzorów musisz się koniecznie do nich nauczyć (no chyba,że już je umiesz to świetnie). Dla postaci ogólnej równania kwadratowego ax^2 + bx + c = 0:

\Delta = b^2 - 4ac

W naszym przypadku \Delta = 3^2 -4*1*(-4) = 9 + 16 = 25 , a więc \sqrt(\Delta) = 5

Gdy Delta jest mniejsza od zera, wówczas równanie kwadratowe nie ma rozwiązań (pierwiastków) i parabola nie styka się z osią 0X. Dla ujemnego a (czynnik przy najwyższej potędze) "ramiona" paraboli są skierowane w dół, a dla dodatniego a: w górę. Gdy Delta jest równa zero, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie:

x_{0} = \frac{-b}{2a}

Powyższe wyrażenie jest tzw. pierwiastkiem podwójnym równania kwadratowego. Wtedy parabola jest styczna do osi 0X.
W ostatnim przypadku (czyli też naszym), gdy Delta jest większa od zera, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania przedstawione poniżej:

x_{1} = \frac{-b-\sqrt(Delta)}{2a}

x_{2} = \frac{-b+\sqrt(Delta)}{2a}

A w naszym konkretnym przypadku mamy:

x_{1} = \frac{-3-5}{2} = -4

x_{2} =\frac{-3+5)}{2} = 1

Podsumowując, rozwiązaniami naszego wielomianu są liczby:

x_{1} = 0

x_{2} = -4

x_{3} = 1

a postać iloczynowa wygląda następująco

x(x+4)(x-1) = 0

KONIEC
    • Mrowa11 20120229092932 thumb
      mrowa11 24.03.2012 09:14

      świetnie ,dziękuję bardzo :)

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.