Udowodnij że jeżeli ab>0 to $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ większe lub równe 2.

Zadanie 4035 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez werciaa_a , 16.10.2012 12:21
Werciaa a 20121015170434 thumb
Udowodnij że jeżeli ab>0 to \frac{a}{b} + \frac{b}{a} większe lub równe 2.

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez gosiaduc , 26.10.2012 14:45
Default avatar
Zakładamy, że
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > lub = 2

sprowadzamy do wspólnego mianownika
\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}> lub równe 2

skoro ab>0 to możemy pomnożyć to wyrażenie przez ab

mamy wtedy
a^{2}+b^{2} >lub = 2ab

przenosimy wyrażenie 2ab na lewą stronę

a^{2}+b^{2} -2ab >lub = 0

Zauważamy wzór skroconego mnożenia (a+b)^{2} a to jest zawsze > lub równe 0
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez agawaa , 28.11.2012 20:32
Agawaa 20121128175542 thumb
(a-b)^{2} \geq 0
a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0
a^{2} + b^{2} \geq 2ab /:ab
\frac{a^{2}+b^{2}}{ab} \geq 2
\frac{a^{2}}{ab} + \frac{b^{2}}{ab} \geq 2
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.