Wykaż, że każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci 6n − 1 lub 6n + 1 dla pewnej liczby naturalnej n .

Na początku zauważ że każdą liczbę naturalną można zaliczyć do jednej z klas:

6n
6n+1
6n+2
6n+3
6n+4
6n+5

Pierwsza klasa oznacza liczby podzielne przez 6, druga takie, które przy dzieleniu przez 6 dają resztę 1, itd.

Liczby pierwsze są w szczególności liczbami naturalnymi, a więc należą do którychś z powyższych klas.

Teraz trochę logicznego myślenia:

Liczby pierwsze większe od 3 są z pewnością nieparzyste, więc odpadają klasy 6n, 6n+2 i 6n+4, bo to zbiory liczb parzystych.

Dodatkowo klasę 6n+3 można zapisać jako 3(2n+1), a więc to klasa liczb podzielnych przez 3, więc nie mogą się w niej znajdować liczby pierwsze.

A więc metodą eliminacji pozostały już tylko klasy 6n+1 oraz 6n+5, a więc w nich muszą znajdować się liczby pierwsze i nigdzie indziej. Dodatkowo zwróć uwagę, że klasa 6n+5 jest równoważna klasie 6n-1. Jeżeli od pewnej wielokrotności liczby 6 odejmiesz 1, to na pewno otrzymasz liczbę, która przy dzieleniu przez 6 da resztę 5, a więc można ją zapisać w postaci 6n+5.

To kończy dowód.