Rozwiąż równanie [tex]z^{6}[/tex] = [tex](1+3i)^{12}[/tex]

Zadanie dodane przez droga4 , 14.10.2011 09:50

Rozwiąż równanie $z^{6}$ = $(1+3i)^{12}$

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 28.10.2011 14:05

Szukamy sześciu pierwiastków zespolonych $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ , $z_5$ i $z_6$ , które spełniają to równanie.

Zapiszę to równanie w nieco innej postaci:

$z^6=(1+3i)^{12}$
$z^6=\left [ (1+3i)^2\right ] ^6$
$z^6=(1+6i-9)^6$
$z^6=(-8+6i)^6$

Stąd pierwszym rozwiązaniem jest $z_1=-8+6i$

Teraz korzystając z własności, że wszystkie rozwiązania mają ten sam moduł oraz mieszczą się w wierzchołkach sześciokąta foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu $|z_1|=10$ , stwierdzam, że pozostałe pięć pierwiastków ma także moduł równy $10$ oraz są oddalone kolejno od siebie o kąt $\phi =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$ .

Wystarczy teraz przemnożyć pierwiastek $z_1$ przez liczbę zespoloną o module równym $1$ i argumencie głównym równym $60^{\circ }$ , czyli przez $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ , aby wyznaczyć kolejne rozwiązanie.

Czynność tą powtórzę pięciokrotnie i znajdę wszystkie pozostałe pięć pierwiastków.

Zatem:

$z_2=z_1* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_2=(-8+6i) \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_2=-4-4\sqrt{3}i+3i-3\sqrt{3}$
$\Downarrow$
$z_2=-4-3\sqrt{3}+(3-4\sqrt{3})i$

$z_3=z_2* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_3=\left [ -4-3\sqrt{3}+(3-4\sqrt{3})i\right ] \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_3=-2-2\sqrt{3}i-\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{9}{2}i+\frac{3}{2}i-\frac{3}{2}\sqrt{3}-2\sqrt{3}i+6$
$\Downarrow$
$z_3=4-3\sqrt{3}+(-3-4\sqrt{3})i$

$z_4=z_3* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_4=\left [ 4-3\sqrt{3}+(-3-4\sqrt{3})i\right ] \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_4=2+2\sqrt{3}i-\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{9}{2}i-\frac{3}{2}i+\frac{3}{2}\sqrt{3}-2\sqrt{3}i+6$
$\Downarrow$
$z_4=8-6i$

$z_5=z_4* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_5=(8-6i) \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_5=4+4\sqrt{3}i-3i+3\sqrt{3}$
$\Downarrow$
$z_5=4+3\sqrt{3}+(-3+4\sqrt{3})i$

$z_6=z_5* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_6=\left [ 4+3\sqrt{3}+(-3+4\sqrt{3})i\right ] \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )$
$z_6=2+2\sqrt{3}i+\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{9}{2}i-\frac{3}{2}i+\frac{3}{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}i-6$
$\Downarrow$
$z_6=-4+3\sqrt{3}+(3+4\sqrt{3})i$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Rozwiąż równanie [tex]z^{6}[/tex] = [tex](1+3i)^{12}[/tex]

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: