Masz pytania? Zadzwoń: (12) 400 46 75 lub napisz.

Rozwiąż równanie [tex]z^{6}[/tex] = [tex](1+3i)^{12}[/tex]

Zadanie 117 (rozwiązane)

Pakiet matura 2020 Kurs i poradniki 50% taniej

Nie przegap okazji! Testuj kurs przez 14 dni bez żadnego ryzyka. Dowiedz się więcej
Zadanie dodane przez droga4 , 14.10.2011 09:50
Default avatar
Rozwiąż równanie z^{6} = (1+3i)^{12}

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 28.10.2011 14:05
Science4u 20110912181541 thumb

Szukamy sześciu pierwiastków zespolonych z_1, z_2, z_3, z_4, z_5 i z_6, które spełniają to równanie.

Zapiszę to równanie w nieco innej postaci:

z^6=(1+3i)^{12}
z^6=\left [ (1+3i)^2\right ] ^6
z^6=(1+6i-9)^6
z^6=(-8+6i)^6

Stąd pierwszym rozwiązaniem jest z_1=-8+6i

Teraz korzystając z własności, że wszystkie rozwiązania mają ten sam moduł oraz mieszczą się w wierzchołkach sześciokąta foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu |z_1|=10, stwierdzam, że pozostałe pięć pierwiastków ma także moduł równy 10 oraz są oddalone kolejno od siebie o kąt \phi =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ } .

Wystarczy teraz przemnożyć pierwiastek z_1 przez liczbę zespoloną o module równym 1 i argumencie głównym równym 60^{\circ }, czyli przez \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, aby wyznaczyć kolejne rozwiązanie.

Czynność tą powtórzę pięciokrotnie i znajdę wszystkie pozostałe pięć pierwiastków.

Zatem:

z_2=z_1* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_2=(-8+6i) \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_2=-4-4\sqrt{3}i+3i-3\sqrt{3}
\Downarrow
z_2=-4-3\sqrt{3}+(3-4\sqrt{3})i


z_3=z_2* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_3=\left [ -4-3\sqrt{3}+(3-4\sqrt{3})i\right ]  \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_3=-2-2\sqrt{3}i-\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{9}{2}i+\frac{3}{2}i-\frac{3}{2}\sqrt{3}-2\sqrt{3}i+6
\Downarrow
z_3=4-3\sqrt{3}+(-3-4\sqrt{3})i


z_4=z_3* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_4=\left [ 4-3\sqrt{3}+(-3-4\sqrt{3})i\right ]  \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_4=2+2\sqrt{3}i-\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{9}{2}i-\frac{3}{2}i+\frac{3}{2}\sqrt{3}-2\sqrt{3}i+6
\Downarrow
z_4=8-6i


z_5=z_4* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_5=(8-6i) \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_5=4+4\sqrt{3}i-3i+3\sqrt{3}
\Downarrow
z_5=4+3\sqrt{3}+(-3+4\sqrt{3})i


z_6=z_5* \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_6=\left [ 4+3\sqrt{3}+(-3+4\sqrt{3})i\right ]  \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right )
z_6=2+2\sqrt{3}i+\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{9}{2}i-\frac{3}{2}i+\frac{3}{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}i-6
\Downarrow
z_6=-4+3\sqrt{3}+(3+4\sqrt{3})i
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.