(z^2+16i)(5z+iz-4i)=0 Rozwiązać i zapisać w postaci kartezjańskiej,liczby zespolone.

Zadanie dodane przez Zguta , 05.02.2012 18:47

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez daljan1 , 07.02.2012 00:14

( $z^{2}$ + 16i)(5z + iz -4i) = 0<=>1) $z^{2}$ + 16i = 0 $\vee$ 2) 5z + iz -4i = 0
Niech z = a + bi, gdzie i = $\sqrt{-1}$ , więc $i^{2}$ = -1 oraz a, b $\in$ R
Ad1)
$(a + bi)^{2}$ + 16i = 0
$a^{2}$ + 2abi + $b^{2}$ $i^{2}$ + 16i = 0
( $a^{2}$ - $b^{2}$ ) + ( 2ab + 16)i = 0 <=> $a^{2}$ - $b^{2}$ = 0 $\wedge$ 2ab + 16 = 0
$a^{2}$ - $b^{2}$ = 0<=> (a - b)(a + b) = 0<=> a - b = 0 $\vee$ a + b = 0 <=> a= b $\vee$ a = -b
Dla a = b po podstawieniu do 2ab + 16 = 0 mamy:
2 $a^{2}$ = - 16 /:2
$a^{2}$ = - 8, sprzeczne bo a $\in$ R
Dla a = -b po podstawieniu do 2ab + 16 = 0 mamy:
- 2 $b^{2}$ = - 16 /: (-2)
$b^{2}$ = 8<=> b = 2 $\sqrt{2}$ $\vee$ b = - 2 $\sqrt{2}$
a = - 2 $\sqrt{2}$ $\vee$ a = 2 $\sqrt{2}$
Ad2)
5(a + bi) + i(a + bi) - 4i =0<=>5a + 5bi +ai + b $i^{2}$ - 4i = 0<=> (5a - b) + (a + 5b - 4)i = 0<=>
5a - b =0 $\wedge$ a + 5b - 4 = 0 <=> b = 5a i a + 5*5a - 4 = 0
26a = 4 /:26
a = $\frac{2}{13}$ , b=5 * $\frac{2}{13}$ = $\frac{10}{13}$
Biorąc pod uwagę 1 i 2 mamy następujące rozwiązania:
z= 2 $\sqrt{2}$ - 2 $\sqrt{2}$ i, z = -2 $\sqrt{2}$ +2 $\sqrt{2}$ i, z = $\frac{2}{13}$ + $\frac{10}{13}$ i

- Zguta 08.02.2012 08:37
  
  Dziękuję bardzo za pomoc ;)
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

(z^2+16i)(5z+iz-4i)=0 Rozwiązać i zapisać w postaci kartezjańskiej,liczby zespolone.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: