Zadanie
dodane przez
Marked
,
07.02.2013 10:38
![\sqrt[4]{-1+i](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{\sqrt[4]{-1+i})
też jest pod pierwiastkiem 4 stopnia
Nadesłane rozwiązania ( 2 )
Rozwiązanie 1
dodane przez
CHCEZDAC
,
07.02.2013 15:09
= - pierwiastek 4 stopnia z 1+ pierw. 4 stopnia z 3= i pierw. 4 stopnia z 2
-
- Dodaj komentarz
Musisz się
zalogować
aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2
dodane przez
Science4U
,
09.02.2013 10:01
Należy obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z liczby
. Będą cztery rozwiązania.
Najlepiej będzie zamienić liczbę
na postać trygonometryczną, a następnie skorzystać ze wzoru de Moivre'a.
})
^1+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2})
 =\frac{2\pi }{3} })
Stąd:
 })
Zgodnie ze wzorem de Moivre'a pierwiastki stopnia
z liczby to:
![z_{k+1}=\sqrt[n]{|z|}\left ( \cos \cfrac{\varphi +2k\pi }{n}+i \sin \cfrac{\varphi +2k\pi }{n}\right )](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{z_{k+1}=\sqrt[n]{|z|}\left ( \cos \cfrac{\varphi +2k\pi }{n}+i \sin \cfrac{\varphi +2k\pi }{n}\right ) })
gdzie
Zatem mamy cztery następujące rozwiązania:
![z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{2\pi }{12} +i \sin \cfrac{2\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{\pi }{6} +i \sin \cfrac{\pi }{6} \right )](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{2\pi }{12} +i \sin \cfrac{2\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{\pi }{6} +i \sin \cfrac{\pi }{6} \right ) })
![z_2=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{8\pi }{12} +i \sin \cfrac{8\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{2\pi }{3} +i \sin \cfrac{2\pi }{3} \right )](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{z_2=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{8\pi }{12} +i \sin \cfrac{8\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{2\pi }{3} +i \sin \cfrac{2\pi }{3} \right ) })
![z_3=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{14\pi }{12} +i \sin \cfrac{14\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{7\pi }{6} +i \sin \cfrac{7\pi }{6} \right )](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{z_3=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{14\pi }{12} +i \sin \cfrac{14\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{7\pi }{6} +i \sin \cfrac{7\pi }{6} \right ) })
![z_4=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{20\pi }{12} +i \sin \cfrac{20\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{5\pi }{3} +i \sin \cfrac{5\pi }{3} \right )](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{z_4=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{20\pi }{12} +i \sin \cfrac{20\pi }{12} \right ) =\sqrt[4]{2}\left ( \cos \cfrac{5\pi }{3} +i \sin \cfrac{5\pi }{3} \right ) })
Musisz się
zalogować
aby dodać komentarz
COMMENT_CONTENT