cztery liczby tworzą ciąg geometryczny .Trzecia liczba jest o 2 większa od pierwszej,a druga mniejsza od czwartej o 6.Znajdż te liczby.

Zadanie dodane przez andrzejb , 14.01.2012 20:29

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 14.01.2012 22:37

$a_1, a_2, a_3, a_4\rightarrow$ ciąg geometryczny

Z treści zadania mamy:
(1) $a_3=a_1+2$
(2) $a_2=a_4-6$

Skoro liczby te tworzą ciąg geometryczny, to zachodzą następujące relacje:
$a_2=a_1q$
$a_3=a_1q^2$
$a_4=a_1q^3$

gdzie $q$ jest ilorazem tego ciągu.
Po podstawieniu tych zależności do równań (1) i (2) otrzymujemy:

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1q^2=a_1+2 \\ a_1q=a_1q^3-6 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1(q^2-1)=2 \\ a_1q=a_1q^3-6 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1=\frac{2}{q^2-1} \\ \frac{2q}{q^2-1}=\frac{2q^3}{q^2-1}-6 \end{array}\right . $

W drugim równaniu przeniosę wszystkie elementy na lewą stronę oraz zsumuję je, używając wspólnego mianownika:

$\frac{2q-2q^3+6(q^2-1)}{q^2-1}=0$
$\Downarrow$
$2q-2q^3+6(q^2-1)=0$
$-2q(q^2-1)+6(q^2-1)=0$
$-2(q^2-1)(q-3)=0$
$\Downarrow$
$q=1\vee q=-1\leftarrow$ sprzeczne z założeniem, gdyż wówczas mielibyśmy ciąg stały lub naprzemienny (ponadto nie wolno dzielić przez $0$ )
lub
$q=3$

Wracając zatem:
$a_1=\frac{2}{3^2-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

$a_2=3* \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$a_3=3* \frac{3}{4}=\frac{9}{4}$

$a_4=3* \frac{9}{4}=\frac{27}{4}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

cztery liczby tworzą ciąg geometryczny .Trzecia liczba jest o 2 większa od pierwszej,a druga mniejsza od czwartej o 6.Znajdż te liczby.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: