Wykaż ,że ciąg ( an) jest rosnący: a). an= 2- 4\n+1 b). an= 3\ 1- 2n

Zadanie dodane przez nieuk , 23.01.2012 15:28

Wykaż ,że ciąg ( an) jest rosnący:

a). an= 2- 4\n+1
b). an= 3\ 1- 2n

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 23.01.2012 18:03

Ciąg jest rosnący gdy $a_{n}<a_{n+1}$

a)
$a_{n}=2-\frac{4}{n+1} = \frac{2(n+1)-4}{n+1} = \frac{2n-2}{n+1}$
$a_{n+1}=2-\frac{4}{(n+1)+1}= 2-\frac{4}{n+2} = \frac{2(n+2)-4}{n+2} = \frac{2n}{n+2}$

$\frac{2n-2}{n+1}< \frac{2n}{n+2}$
$\frac{2n-2}{n+1} - \frac{2n}{n+2} < 0$
Sprowadzasz do wspólnego mianownika:
$\frac{(2n-2)(n+2) - 2n(n+1)}{(n+1)(n+2)} < 0$
$\frac{-4}{(n+1)(n+2)} < 0$
n musi być większe od zera (nr wyrazów ciągu nie może być ujemny) dlatego -4 podzielone przez liczbę dodatnia jest mniejsze od zera
Co Kończy Dowód

b)
$a_{n}=\frac{3}{1-2n}$
$a_{n+1}=\frac{3}{1-2(n+1)} = \frac{3}{-1-2n} = - \frac{3}{1+2n}$

$\frac{3}{1-2n} < - \frac{3}{1+2n}$
$\frac{3}{1-2n} + \frac{3}{1+2n} < 0$
Sprowadzasz do wspólnego mianownika:
$\frac{3(1+2n) + 3(1-2n)}{(1-2n)(1+2n)} < 0$
$\frac{6}{(1-4n^{2})} < 0$
n musi być większe od zera (nr wyrazów ciągu nie może być ujemny) dlatego 6 podzielone przez liczbę ujemną jest mniejsze od zera
Co Kończy Dowód

Wzory na ciągi są własnością intelektualną matematyków dźinijskich (Starożytne Indie ok. 900 p.n.e.–200 n.e.).
Reszta zapisków jest moją własnością intelektualną.
Udostępniam je na zasadzie Licencji Otwartej - GNU General Public License.
(Stop ACTA, SOPA i PIPA!)

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wykaż ,że ciąg ( an) jest rosnący: a). an= 2- 4\n+1 b). an= 3\ 1- 2n

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: