Liczby a,b,c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego a liczby a+1,b+2, c+6- trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. wyznacz liczby a.b.c wiedząc że ich suma jest równa 12

Zadanie dodane przez xxxpaabloxxx , 25.01.2012 09:22

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez nieebieeski , 25.01.2012 10:02

Po pierwsze należy ułożyć układ trzech równań, bo mamy 3 niewiadome.
Równania pochodzą z właśności ciągu arytmetycznego geometrycznego i danej sumy.
$\begin{cases} b=\frac{a+b}{2}\\ \frac{b+2}{a+1}=\frac{c+6}{b+2}\\a+b+c=12 \end{cases}$
Z trzeciego równania możemy wyznaczyć a:
$a=12-b-c$
Podstawiamy to pod równanie pierwsze i otrzymujemy:

$b=\frac{12-b-c+c}{2} \rightarrow b=4$

Daną podstawiamy pod równanie 1 i 2 i mamy układ dwóch równań:

$\begin{cases} a+c=8\\ \frac{6}{a+1}=\frac{c+6}{6}\end{cases}$

Z pierwszego równania wyznaczamy którąś niewiadomą, np. a:
$a=8-c$
Daną podstawiamy pod równanie drugie i wychodzi nam cos takiego:

$\frac{6}{7-c}=\frac{c+6}{6}$
Mnożymy na krzyż:
$36=7c+42-c^2-6c$
$-c^2+c+6=0$
$\Delta=25=5^2$
$c_1=3 \vee c_2=-2$
Otrzymane wartości podstawiamy pod pierwsze równanie. I Otrzymujemy
$a=5$ dla $c=3$
$a=10$ dla $c=-2$

Zatem szukane ciągi to:
$(5,4,3) \vee (10,4,-2)$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Liczby a,b,c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego a liczby a+1,b+2, c+6- trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. wyznacz liczby a.b.c wiedząc że ich suma jest równa 12

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: