Liczby a,b,c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego a liczby a+1,b+2, c+6- trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. wyznacz liczby a.b.c wiedząc że ich suma jest równa 12

Zadanie 1638 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez xxxpaabloxxx , 25.01.2012 09:22
Default avatar
Liczby a,b,c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego a liczby a+1,b+2, c+6- trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. wyznacz liczby a.b.c wiedząc że ich suma jest równa 12

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez nieebieeski , 25.01.2012 10:02
Nieebieeski 20111112115609 thumb
Po pierwsze należy ułożyć układ trzech równań, bo mamy 3 niewiadome.
Równania pochodzą z właśności ciągu arytmetycznego geometrycznego i danej sumy.
\begin{cases} b=\frac{a+b}{2}\\ \frac{b+2}{a+1}=\frac{c+6}{b+2}\\a+b+c=12 \end{cases}
Z trzeciego równania możemy wyznaczyć a:
a=12-b-c
Podstawiamy to pod równanie pierwsze i otrzymujemy:

b=\frac{12-b-c+c}{2} \rightarrow b=4

Daną podstawiamy pod równanie 1 i 2 i mamy układ dwóch równań:

\begin{cases} a+c=8\\ \frac{6}{a+1}=\frac{c+6}{6}\end{cases}

Z pierwszego równania wyznaczamy którąś niewiadomą, np. a:
a=8-c
Daną podstawiamy pod równanie drugie i wychodzi nam cos takiego:

\frac{6}{7-c}=\frac{c+6}{6}
Mnożymy na krzyż:
36=7c+42-c^2-6c
-c^2+c+6=0
\Delta=25=5^2
c_1=3 \vee c_2=-2
Otrzymane wartości podstawiamy pod pierwsze równanie. I Otrzymujemy
a=5 dla c=3
a=10 dla c=-2

Zatem szukane ciągi to:
(5,4,3) \vee (10,4,-2)
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.