Rozwiąż nierówność: $\frac{2x}{2x-3}$+$\frac{4x}{2x-3}$+$\frac{8x}{2x-3}$+...+$\frac{1024x}{2x-3}$≥4092. Doszedłem do tego, że: n=9 $S_{9}$=2x*511=1022x $\frac{1022x}{2x-3}$≥4092 no i tu zaczynają się schody, ponieważ po przeniesieniu na lewą stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika wychodzą mi okropnie duże liczby i nie wiem, czy wgl dobrze to robię...

Zadanie 2158 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez dawid11204 , 25.02.2012 16:33
Dawid11204 20111106074654 thumb
Rozwiąż nierówność: \frac{2x}{2x-3}+\frac{4x}{2x-3}+\frac{8x}{2x-3}+...+\frac{1024x}{2x-3}≥4092.

Doszedłem do tego, że:
n=9
S_{9}=2x*511=1022x
\frac{1022x}{2x-3}≥4092
no i tu zaczynają się schody, ponieważ po przeniesieniu na lewą stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika wychodzą mi okropnie duże liczby i nie wiem, czy wgl dobrze to robię...

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 25.02.2012 18:30
D mek 20120307223004 thumb
Widać, że jest to ciąg geometryczny o danych:
a_{1}= \frac{2x}{2x-3}
q=2
a_{n}= \frac{1024x}{2x-3}

a_{n}=a_{1} * q^{n-1}
Z tego wynika:
 \frac{2x}{2x-3} * 2^{n-1} = \frac{1024x}{2x-3}
 2^{n-1} = \frac{1024x}{2x-3} * \frac{2x-3}{2x}
 2^{n-1} = 512
 2^{n-1} = 2^{9} \Leftrightarrow
n-1 = 9
n = 10

Podstawiasz dane do wzoru:
S_{n}= a_{1} * \frac{1-q^{n}}{1-q}

S_{10}= \frac{2x}{2x-3} * \frac{1-2^{10}}{1-2}
S_{10}= \frac{2x}{2x-3} * \frac{-1023}{-1}
S_{10}= \frac{2046x}{2x-3}

\frac{2046x}{2x-3} \geq 4092
\frac{x}{2x-3} \geq 2
\frac{x}{2x-3} - 2 \geq 0
\frac{x}{2x-3} - \frac{4x-6}{2x-3} \geq 0
Założenie:
2x-3\neq0
x\neq \frac{3}{2}

\frac{-3x+6}{2x-3} \geq 0 \Leftrightarrow
-3(x-2)(2x-3) \geq 0
Rysujesz mini wykres, a na nim parabolę z ramionami do dołu o pierwiastkach 2 i \frac{3}{2}.
Funkcja przyjmuje wartości mniejsze bądź równe 0, dla:
x\in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup < 2 ; +\infty)

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]
    • Dawid11204 20111106074654 thumb
      dawid11204 25.02.2012 20:10

      2 sprowadzona do wspólnego mianownika (2x-3) nie powinna wyglądać tak: \frac{4x-6}{2x-3}?

    • D mek 20120307223004 thumb
      d_mek 25.02.2012 21:29

      Zapomniałem również dodać założenia, oba błędy są już poprawione...

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.