Rozwiąż nierówność: $\frac{2x}{2x-3}$+$\frac{4x}{2x-3}$+$\frac{8x}{2x-3}$+...+$\frac{1024x}{2x-3}$≥4092. Doszedłem do tego, że: n=9 $S_{9}$=2x*511=1022x $\frac{1022x}{2x-3}$≥4092 no i tu zaczynają się schody, ponieważ po przeniesieniu na lewą stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika wychodzą mi okropnie duże liczby i nie wiem, czy wgl dobrze to robię...

Zadanie dodane przez dawid11204 , 25.02.2012 16:33

Rozwiąż nierówność: $\frac{2x}{2x-3}$ + $\frac{4x}{2x-3}$ + $\frac{8x}{2x-3}$ +...+ $\frac{1024x}{2x-3}$ ≥4092.

Doszedłem do tego, że:
n=9
$S_{9}$ =2x*511=1022x
$\frac{1022x}{2x-3}$ ≥4092
no i tu zaczynają się schody, ponieważ po przeniesieniu na lewą stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika wychodzą mi okropnie duże liczby i nie wiem, czy wgl dobrze to robię...

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 25.02.2012 18:30

Widać, że jest to ciąg geometryczny o danych:
$a_{1}= \frac{2x}{2x-3}$
q=2
$a_{n}= \frac{1024x}{2x-3}$

$a_{n}=a_{1} * q^{n-1}$
Z tego wynika:
$\frac{2x}{2x-3} * 2^{n-1} = \frac{1024x}{2x-3}$
$2^{n-1} = \frac{1024x}{2x-3} * \frac{2x-3}{2x}$
$2^{n-1} = 512$
$2^{n-1} = 2^{9}$ $\Leftrightarrow$
n-1 = 9
n = 10

Podstawiasz dane do wzoru:
$S_{n}= a_{1} * \frac{1-q^{n}}{1-q}$

$S_{10}= \frac{2x}{2x-3} * \frac{1-2^{10}}{1-2}$
$S_{10}= \frac{2x}{2x-3} * \frac{-1023}{-1}$
$S_{10}= \frac{2046x}{2x-3}$

$\frac{2046x}{2x-3} \geq 4092$
$\frac{x}{2x-3} \geq 2$
$\frac{x}{2x-3} - 2 \geq 0$
$\frac{x}{2x-3} - \frac{4x-6}{2x-3} \geq 0$
Założenie:
2x-3 $\neq$ 0
$x\neq \frac{3}{2}$

$\frac{-3x+6}{2x-3} \geq 0$ $\Leftrightarrow$
$-3(x-2)(2x-3) \geq 0$
Rysujesz mini wykres, a na nim parabolę z ramionami do dołu o pierwiastkach 2 i $\frac{3}{2}$ .
Funkcja przyjmuje wartości mniejsze bądź równe 0, dla:
$x\in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup < 2 ; +\infty)$

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

- dawid11204 25.02.2012 20:10
  
  2 sprowadzona do wspólnego mianownika (2x-3) nie powinna wyglądać tak: $\frac{4x-6}{2x-3}$ ?
- d_mek 25.02.2012 21:29
  
  Zapomniałem również dodać założenia, oba błędy są już poprawione...
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: