Dane są dwa ciągi o wyrazach różnych od zera,ciąg ($a_{n}$) jest arytmetyczny, a ($b_{n}$) geometryczny. Drugie wyrazy obu ciągów są jednakowe, a trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy sumie pierwszego i drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wiadomo ponadto, że pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest liczbą przeciwną do dwukrotności pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, a stosunek piątego wyrazu ciągu arytmetycznego do czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy 28. Wykaż że jest nieskończenie wiele ciągów spełniających powyższe warunki. Mam tak: -2$a_{1}$=$b_{1}$ $a_{1}$+r=-2$a_{1}$q $a_{1}$+4r=-56$a_{1}$$q^{3}$ $a_{1}$+2r=-2$a_{1}$-2$a_{1}$q i co dalej?

Zadanie 2176 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez dawid11204 , 27.02.2012 13:55
Dawid11204 20111106074654 thumb
Dane są dwa ciągi o wyrazach różnych od zera,ciąg (a_{n}) jest arytmetyczny, a (b_{n}) geometryczny. Drugie wyrazy obu ciągów są jednakowe, a trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy sumie pierwszego i drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wiadomo ponadto, że pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest liczbą przeciwną do dwukrotności pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, a stosunek piątego wyrazu ciągu arytmetycznego do czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy 28. Wykaż że jest nieskończenie wiele ciągów spełniających powyższe warunki.


Mam tak:
-2a_{1}=b_{1}
a_{1}+r=-2a_{1}q
a_{1}+4r=-56a_{1}q^{3}
a_{1}+2r=-2a_{1}-2a_{1}q

i co dalej?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez daljan1 , 27.02.2012 23:09
Default avatar
Z podanych założeń o ciągach mamy następujące zależności:

1. a_{2} = b_{2}
2. a_{3} = b_{1} + b_{2}
3. b_{1} = -2 a_{1}
4. \cfrac{a_5}{b_4} = 28

Z 1 i 2: r = a_{3} - a_{2} = b_{1} + b_{2} - b_{2} = b_{1}

Z 3:  a_{1}= - \frac{b_1}{2}

Z 4: {a_5} = 28{b_4}

{a_1} + 4r = 28*{b_1}* q^{3}

- \frac{b_1}{2} + 4 b_{1} = 28{b_1}q^{3}

\frac{7}{2}b_{1} = 28{b_1}*q^{3}

28*q^{3} = \frac{7}{2}

q = \frac{1}{2}

Istnieje nieskończenie wiele ciągów geometrycznych o dowolnym pierwszym wyrazie i ilorazie q = \frac{1}{2}. Zatem istnieje także nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych, gdzie  a_{1}= - \frac{b_1}{2} i r = b_{1}.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.