w ciągu arytmetycznym mamy dane: a¹=1, Sⁿ=21, S²ⁿ=96.oblicz n.

Zadanie dodane przez klim , 25.03.2012 08:41

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 28.03.2012 18:14

$ \left \{ \begin{array}{l} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}* n\\ S_{2n}=\frac{a_1+a_{2n}}{2}* 2n \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} S_n=\frac{a_1+a_1+(n-1)* r}{2}* n\\ S_{2n}=\frac{a_1+a_1+(2n-1)* r}{2}* 2n \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} 21=\frac{2+(n-1)* r}{2}* n\\ 96=\frac{2+(2n-1)* r}{2}* 2n \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} 42=(2+(n-1)* r)* n\\ 192=(2+(2n-1)* r)* 2n \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} 42=2n+n(n-1)r\\ 192=4n+2n(2n-1)r \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} r=\frac{42-2n}{n(n-1)}\\ 192=4n+2n(2n-1)r \end{array}\right . $

Po podstawieniu zależności z równania pierwszego do równania drugiego otrzymujemy:

$192=4n+\frac{2n(2n-1)(42-2n)}{n(n-1)}$

Pomnożę obie strony równania przez $n(n-1)$ :

$192n(n-1)=4n^2(n-1)+2n(2n-1)(42-2n)$

Podzielę obie strony równania przez 4:

$48n(n-1)=n^2(n-1)+n(2n-1)(21-n)$

$48n^2-48n=n^3-n^2+(2n^2-n)(21-n)$

$48n^2-48n=n^3-n^2+42n^2-2n^3-21n+n^2$

$n^3+6n^2-27n=0$

$n(n^2+6n-27)=0$

$n=0$ ale to sprzeczność
lub
$n^2+6n-27=0$

$\Delta =36 +4* 27=144$ , $\sqrt{\Delta }=12$

$n_1=\frac{-6-12}{2}=-9$ ale to sprzeczność

$n_2=\frac{-6+12}{2}=3$

Zatem szukana wartość to $n=3$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

w ciągu arytmetycznym mamy dane: a¹=1, Sⁿ=21, S²ⁿ=96.oblicz n.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: