Liceum » Ciągi liczbowe » 4.Między liczby 2 i 18 wstawić trzy liczby tak dobrane,że w utworzonym w ten sposób ciągu pięciu liczb pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny,a trzy ostatnie ciąg geometryczny.Suma wszystkich pięciu liczb jest równa 45. Znajdz te liczby.

Zadanie dodane przez mariolka57 , 23.04.2012 08:00

Liceum » Ciągi liczbowe »
4.Między liczby 2 i 18 wstawić trzy liczby tak dobrane,że w utworzonym w ten sposób ciągu pięciu liczb pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny,a trzy ostatnie ciąg geometryczny.Suma wszystkich pięciu liczb jest równa 45.
Znajdz te liczby.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 24.04.2012 13:49

a -pierwsza liczba
b -druga liczba
c -trzecia liczba

2+a+b+c+18=45
a+b+c=25

Z własności ciągu arytmetycznego:
2a= 2 + b
Z własności ciągu geometrycznego:
$c^{2}= b * 18$

Teraz masz układ 3 równań z trzema niewiadomymi:
$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=25 \\ 2a= 2 + b \\ c^{2}= 18b \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=25 \\ a= 1 + \cfrac{b}{2} \\ c= \sqrt{18b} \end{array} \right.$
$1 + \cfrac{b}{2} + b + 3\sqrt{2b} - 25 = 0$
$b + 2b + 6\sqrt{2b} - 48= 0$
$b + 2\sqrt{2b} - 16= 0$
Podkładasz zmienną, aby zauważyć równanie kwadratowe:
$\sqrt{b}= x \ \ \ \ x\geq 0$ (pierwiastek kwadratowy nie może dać liczby ujemnej)
$x^{2} + 2\sqrt{2}x -16= 0$
$\Delta= 8 + 64= 72$
$\sqrt{\Delta}= 6\sqrt{2}$
$x_{1}= \cfrac{- 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2}= 2\sqrt{2}$
$x_{2}= \cfrac{- 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}}{2}= -4\sqrt{2}$
Podstawiasz założenie $x\geq 0$
Zostaje ci:
$x= 2\sqrt{2}$
Z powrotem zamieniasz na b:
$\sqrt{b}= 2\sqrt{2}$
$b= 8$

Wracasz do układu równań i podstawiasz resztę liczb:
$a= 1 + \cfrac{8}{2}= 1 + 4= 5$
$c= \sqrt{18*8}= \sqrt{144}= 12$

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Liceum » Ciągi liczbowe » 4.Między liczby 2 i 18 wstawić trzy liczby tak dobrane,że w utworzonym w ten sposób ciągu pięciu liczb pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny,a trzy ostatnie ciąg geometryczny.Suma wszystkich pięciu liczb jest równa 45. Znajdz te liczby.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: