Wyznacz ciąg geometryczny, wiedząc: $a_{2}$ + $a_{4}$ = 42 i $a_{3}$ + $a_{5}$ = 126

Zadanie dodane przez MatmaFail , 04.11.2011 16:19

Wyznacz ciąg geometryczny, wiedząc: $a_{2}$ + $a_{4}$ = 42 i $a_{3}$ + $a_{5}$ = 126

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 29.11.2011 09:31

Wykorzystam własność ciągów geometrycznych: $a_n=a_1* q^{n-1}$

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1* q+a_1* q^3=42 \\ a_1* q^2+a_1* q^4=126 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1=\frac{42}{q+q^3} \\ a_1* (q^2+q^4)=126 \end{array}\right . $

Podstawię zależność z równania pierwszego do równania drugiego i rozwiążę otrzymane równanie wielomianowe:

$\frac{42}{q+q^3}* (q^2+q^4)=126$

$\frac{q^2+q^4}{q+q^3}=3$

$q^2+q^4=3q+3q^3$

$q^4-3q^3+q^2-3q=0$

$q(q^3-3q^2+q-3)=0$

$q[q^2(q-3)+(q-3)]=0$

$q(q^2+1)(q-3)=0$

$\Downarrow$

$q=0$ sprzeczność

lub:

$q^2=-1$ sprzeczność

lub:

$q=3$

Skoro mamy już iloraz tego ciągu, to wystarczy teraz znaleźć jeszcze jego pierwszy wyraz, czyli $a_1$ :

$a_1=\frac{42}{3+3^3}$

$a_1=\frac{42}{30}=\frac{7}{5}$

Zatem ciąg ten można opisać wzorem:

$a_n=\frac{7}{5}* \left ( 3\right ) ^{n-1}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wyznacz ciąg geometryczny, wiedząc: $a_{2}$ + $a_{4}$ = 42 i $a_{3}$ + $a_{5}$ = 126

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: