Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 24. Jeżeli pierwszą z nich zmniejszymy o 1, trzecią zwiększymy o 5,a drugą pozostawimy bez zmian to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdz te liczby.

Zadanie 3418 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Marietka , 12.05.2012 11:51
Default avatar
Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 24. Jeżeli pierwszą z nich zmniejszymy o 1, trzecią zwiększymy o 5,a drugą pozostawimy bez zmian to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdz te liczby.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 12.05.2012 12:17
Annas 20120518205519 thumb
Dane:
S_{3}=24
a_{1}-1, a_{2}, a_{3}+5 - ciąg geometryczny

(1) a_{1}+a_{2}+ a_{3}=24
Jest też wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
S_{3}=\cfrac{a_{1}+ a_{3}}{2}3=24,
a stąd
(2) a_{1}+ a_{3}=\frac{24*2}{3}=16
Podstawiamy do (1):
a_{2}+ 16=24
a_{2}=8

Teraz musimy skorzystać z opisanego ciągu geometrycznego. Jeśli ten ciąg jest geometryczny, tzn. że:
\cfrac{a_{1}-1}{a_{2}}=\cfrac{a_{2}}{a_{3}+5}
Podstawiamy wartość a_{2}:
\cfrac{a_{1}-1}{8}=\cfrac{8}{a_{3}+5}
i wymnażamy na krzyż:
(3) (a_{1}-1)(a_{3}+5)=8*8

Pozostaje rozwiązać układ równań (2) i (3) z niewiadomymi a1 i a3:
(2) a_{1}+ a_{3}=16
(3) (a_{1}-1)(a_{3}+5)=64
Z (2) wyznaczam a1:
a_{1}=16- a_{3}
i podstawiam do (3):
(16- a_{3}-1)(a_{3}+5)=64
(15- a_{3})(a_{3}+5)=64
Mnożę nawiasy i przenoszę 64 na lewo:
15a_{3}+15*5- a_{3}* a_{3}-5a_{3}=64
- a_{3}* a_{3}+10a_{3}+11=0
Delta tego równania kwadratowego
\Delta=100+44=144
\sqrt{\Delta}=12
a_{3}=\frac{-10-12}{-2}=11 \vee a_{3}=\frac{-10+12}{-2}=-1
Wtedy a_{1}:
a_{1}=16- a_{3}=16-11=5 \vee a_{1}=16-(-1)=17

Wyszły zatem takie dwa ciągi arytmetyczne:
5, 8, 11 lub 17, 8, -1.
Jak widać jeden jest rosnący (opisany w zadaniu ciąg geometryczny też będzie wtedy rosnący), drugi malejący (ciąg geometryczny też).
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.