Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 24. Jeżeli pierwszą z nich zmniejszymy o 1, trzecią zwiększymy o 5,a drugą pozostawimy bez zmian to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdz te liczby.

Zadanie dodane przez Marietka , 12.05.2012 11:51

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 12.05.2012 12:17

Dane:
$S_{3}=24$
$a_{1}-1, a_{2}, a_{3}+5$ - ciąg geometryczny

(1) $a_{1}+a_{2}+ a_{3}=24$
Jest też wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
$S_{3}=\cfrac{a_{1}+ a_{3}}{2}3=24$ ,
a stąd
(2) $a_{1}+ a_{3}=\frac{24*2}{3}=16$
Podstawiamy do (1):
$a_{2}+ 16=24$
$a_{2}=8$

Teraz musimy skorzystać z opisanego ciągu geometrycznego. Jeśli ten ciąg jest geometryczny, tzn. że:
$\cfrac{a_{1}-1}{a_{2}}=\cfrac{a_{2}}{a_{3}+5}$
Podstawiamy wartość $a_{2}$ :
$\cfrac{a_{1}-1}{8}=\cfrac{8}{a_{3}+5}$
i wymnażamy na krzyż:
(3) $(a_{1}-1)(a_{3}+5)=8*8$

Pozostaje rozwiązać układ równań (2) i (3) z niewiadomymi a1 i a3:
(2) $a_{1}+ a_{3}=16$
(3) $(a_{1}-1)(a_{3}+5)=64$
Z (2) wyznaczam a1:
$a_{1}=16- a_{3}$
i podstawiam do (3):
$(16- a_{3}-1)(a_{3}+5)=64$
$(15- a_{3})(a_{3}+5)=64$
Mnożę nawiasy i przenoszę 64 na lewo:
$15a_{3}+15*5- a_{3}* a_{3}-5a_{3}=64$
$- a_{3}* a_{3}+10a_{3}+11=0$
Delta tego równania kwadratowego
$\Delta=100+44=144$
$\sqrt{\Delta}=12$
$a_{3}=\frac{-10-12}{-2}=11 \vee a_{3}=\frac{-10+12}{-2}=-1$
Wtedy $a_{1}$ :
$a_{1}=16- a_{3}=16-11=5 \vee a_{1}=16-(-1)=17$

Wyszły zatem takie dwa ciągi arytmetyczne:
5, 8, 11 lub 17, 8, -1.
Jak widać jeden jest rosnący (opisany w zadaniu ciąg geometryczny też będzie wtedy rosnący), drugi malejący (ciąg geometryczny też).

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 24. Jeżeli pierwszą z nich zmniejszymy o 1, trzecią zwiększymy o 5,a drugą pozostawimy bez zmian to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdz te liczby.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: