Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15. Jeżeli do tych liczb dodamy 1, 4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie dodane przez agus2707 , 29.05.2012 22:30

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 30.05.2012 08:20

$x$ , $y$ , $z$ $\leftarrow$ ciąg arytmetyczny

Na mocy średniej arytmetycznej spełnione jest równanie:

$2y=x+z$

$x+1$ , $y+4$ , $z+19$ $\leftarrow$ ciąg geometryczny

Na mocy średniej geometrycznej spełnione jest równanie:

$(y+4)^2=(x+1)(z+19)$

Możemy stworzyć układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

$ \left \{ \begin{array}{l} x+y+z=15\\[0.1cm] 2y=x+z\\[0.1cm] (y+4)^2=(x+1)(z+19)\\[0.1cm] \end{array}\right . $

Zależność z równania drugiego podstawię do równania pierwszego, wtedy:

$y+2y=15$
$3y=15$
$y=5$

Całość zatem sprowadza się do następującego układu równań:

$ \left \{ \begin{array}{l} y=5\\[0.1cm] x+z=10\\[0.1cm] (y+4)^2=(x+1)(z+19)\\[0.1cm] \end{array}\right . $

Z drugiego równania wyruguję zmienną $z$ :

$ \left \{ \begin{array}{l} y=5\\[0.1cm] z=10-x\\[0.1cm] (y+4)^2=(x+1)(z+19)\\[0.1cm] \end{array}\right . $

Zależności z równań pierwszego i drugiego podstawię do równania trzeciego, wtedy:

$(5+4)^2=(x+1)(10-x+19)$

$9^2=(x+1)(29-x)$

$81=29x-x^2+29-x$

$x^2-28x+52=0$

$\Delta =28^2-4* 52=784-208=576$ , $\sqrt{\Delta }=24$

$x_1=\cfrac{28-24}{2}=2$

$x_2=\cfrac{28+24}{2}=26$

Wystarczy teraz jeszcze wyznaczyć wartość zmiennej $z=10-x$ . Będziemy mieli dwa równorzędne rozwiązania:

1)
$x=2$
$y=5$
$z=8$

2)
$x=26$
$y=5$
$z=-16$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15. Jeżeli do tych liczb dodamy 1, 4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: