Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15. Jeżeli do tych liczb dodamy 1, 4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 3510 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez agus2707 , 29.05.2012 22:30
Agus2707 20111103073949 thumb
Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15. Jeżeli do tych liczb dodamy 1, 4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 30.05.2012 08:20
Science4u 20110912181541 thumb

x, y, z \leftarrow ciąg arytmetyczny

Na mocy średniej arytmetycznej spełnione jest równanie:

2y=x+z

x+1, y+4, z+19 \leftarrow ciąg geometryczny

Na mocy średniej geometrycznej spełnione jest równanie:

(y+4)^2=(x+1)(z+19)

Możemy stworzyć układ trzech równań z trzema niewiadomymi:


<br>\left \{ \begin{array}{l}
<br>x+y+z=15\\[0.1cm]
<br>2y=x+z\\[0.1cm]
<br>(y+4)^2=(x+1)(z+19)\\[0.1cm]
<br>\end{array}\right .
<br>

Zależność z równania drugiego podstawię do równania pierwszego, wtedy:

y+2y=15
3y=15
y=5

Całość zatem sprowadza się do następującego układu równań:


<br>\left \{ \begin{array}{l}
<br>y=5\\[0.1cm]
<br>x+z=10\\[0.1cm]
<br>(y+4)^2=(x+1)(z+19)\\[0.1cm]
<br>\end{array}\right .
<br>

Z drugiego równania wyruguję zmienną z:


<br>\left \{ \begin{array}{l}
<br>y=5\\[0.1cm]
<br>z=10-x\\[0.1cm]
<br>(y+4)^2=(x+1)(z+19)\\[0.1cm]
<br>\end{array}\right .
<br>

Zależności z równań pierwszego i drugiego podstawię do równania trzeciego, wtedy:

(5+4)^2=(x+1)(10-x+19)

9^2=(x+1)(29-x)

81=29x-x^2+29-x

x^2-28x+52=0


\Delta =28^2-4* 52=784-208=576, \sqrt{\Delta }=24

x_1=\cfrac{28-24}{2}=2

x_2=\cfrac{28+24}{2}=26

Wystarczy teraz jeszcze wyznaczyć wartość zmiennej z=10-x. Będziemy mieli dwa równorzędne rozwiązania:

1)
x=2
y=5
z=8

2)
x=26
y=5
z=-16
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.