Z.2. Trzy liczby , które tworzą ciąg geometryczny dają w sumie 35. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 4 , do drugiej liczby 5, a do trzeciej 1, to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdz liczby tworzące ciąg geometryczny.

Zadanie dodane przez rafal1802 , 12.06.2012 13:17

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez p0ni , 12.06.2012 15:01

Trzy liczby tworzące ciąg geometryczny:
$a_{1}$
$a_{2}=a_{1}$ $*$ $q$
$a_{3}=a_{1}$ $*$ $q^{2}$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}=35$
$a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=35$
$a_{1}(1+q+q^{2})=35$ $\Rightarrow$ $a_{1}=\frac{35}{1+q+q^{2}}$

Trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny:
$b_{1}=a_{1}+4=\frac{35}{1+q+q^{2}}+4$
$b_{2}=a_{2}+5=a_{1}q+5=(\frac{35}{1+q+q^{2}})q+5$
$b_{3}=a_{3}+1=a_{1}q^{2}+1=(\frac{35}{1+q+q^{2}})q^{2}+1$

Aby był to ciąg arytmetyczny musi być spełniony warunek:
$b_{2}-b_{1}=b_{3}-b_{2}$
$\frac{35q}{1+q+q^{2}}+5-\frac{35}{1+q+q^{2}}-4=\frac{35q^{2}}{1+q+q^{2}}+1-\frac{35q}{1+q+q^{2}}-5$
$\frac{35q-35}{1+q+q^{2}}+1=\frac{35q^{2}-35q}{1+q+q^{2}}-4$
$5=\frac{35q^{2}-35q}{1+q+q^{2}}-\frac{35q-35}{1+q+q^{2}}$
$5=\frac{35q^{2}-70q+35}{1+q+q^{2}}$
mnożymy na krzyż:
$35q^{2}-70q+35=5+5q+5q^{2}$
$30q^{2}-75q+30=0$ $\mid:15$
$2q^{2}-5q+2=0$
$\Delta=(-5)^{2}-4*2*2=25-16=9$
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3$
$q_{1}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $a_{1_{1}}=20$
$q_{2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$ $\Rightarrow$ $a_{1_{2}}=5$

Ciągi geometryczne:
$20,10,5$
$5,10,20$
;))

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Z.2. Trzy liczby , które tworzą ciąg geometryczny dają w sumie 35. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 4 , do drugiej liczby 5, a do trzeciej 1, to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdz liczby tworzące ciąg geometryczny.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: