Z.2. Trzy liczby , które tworzą ciąg geometryczny dają w sumie 35. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 4 , do drugiej liczby 5, a do trzeciej 1, to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdz liczby tworzące ciąg geometryczny.

Zadanie 3585 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez rafal1802 , 12.06.2012 13:17
Rafal1802 20120612130647 thumb
Z.2. Trzy liczby , które tworzą ciąg geometryczny dają w sumie 35. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 4 , do drugiej liczby 5, a do trzeciej 1, to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdz liczby tworzące ciąg geometryczny.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez p0ni , 12.06.2012 15:01
P0ni 20111111095729 thumb
Trzy liczby tworzące ciąg geometryczny:
a_{1}
a_{2}=a_{1}*q
a_{3}=a_{1}*q^{2}

a_{1}+a_{2}+a_{3}=35
a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=35
a_{1}(1+q+q^{2})=35\Rightarrowa_{1}=\frac{35}{1+q+q^{2}}

Trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny:
b_{1}=a_{1}+4=\frac{35}{1+q+q^{2}}+4
b_{2}=a_{2}+5=a_{1}q+5=(\frac{35}{1+q+q^{2}})q+5
b_{3}=a_{3}+1=a_{1}q^{2}+1=(\frac{35}{1+q+q^{2}})q^{2}+1

Aby był to ciąg arytmetyczny musi być spełniony warunek:
b_{2}-b_{1}=b_{3}-b_{2}
\frac{35q}{1+q+q^{2}}+5-\frac{35}{1+q+q^{2}}-4=\frac{35q^{2}}{1+q+q^{2}}+1-\frac{35q}{1+q+q^{2}}-5
\frac{35q-35}{1+q+q^{2}}+1=\frac{35q^{2}-35q}{1+q+q^{2}}-4
5=\frac{35q^{2}-35q}{1+q+q^{2}}-\frac{35q-35}{1+q+q^{2}}
5=\frac{35q^{2}-70q+35}{1+q+q^{2}}
mnożymy na krzyż:
35q^{2}-70q+35=5+5q+5q^{2}
30q^{2}-75q+30=0\mid:15
2q^{2}-5q+2=0
\Delta=(-5)^{2}-4*2*2=25-16=9
\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3
q_{1}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrowa_{1_{1}}=20
q_{2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2\Rightarrowa_{1_{2}}=5

Ciągi geometryczne:
20,10,5
5,10,20
;))
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.