ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg (a,b+3, c+13) jest geometryczny . Oblicz a,b i c.

Zadanie 3824 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez darka2302 , 25.09.2012 15:50
Darka2302 20120924084822 thumb
ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg (a,b+3, c+13) jest geometryczny . Oblicz a,b i c.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Dem , 28.09.2012 22:52
Default avatar
Dane: a + b + c = 33; a, b , c tworzą ciąg artytm. ; a, b +3, c + 13 tworzą ciąg geom.
Stosujemy wzór na zależność trzech kolejnych elementów ciągu arytm. a_{n}\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
zatem: b=\frac{a + c}{2} (1)
Podstawiamy to do sumy z danych zadania:
a + \frac{a + c}{2} + c = 33
2a + a + c + 2c = 66
3a + 3c = 66
a + c = 22
a = 22 - c
Podstawiamy do (1)
zatem: b=\frac{22 - c + c}{2}
zatem: b=11
Następnie korzystamy z zależności trzech kolejnych elementów ciągu geometrycznego:
a^{2}_{n} = a_{n-1} * a_{n+1}
(b + 3)^{2} = a * (c + 13)
i podstawiamy b = 11 oraz a = 22 - c
14^{2}=(22 - c)(c + 13)
196 = 22c + 286 - c^{2} - 13c
c^{2} - 9c - 90 = 0
\sqrt{\Delta} = 21 zatem:
c\in \{ -1,0,1 \}

jak widać są dwa zbiory liczb spełniających warunki zadania (odpowiednio a, b, c)
\{28,11,-6 \} oraz \{7, 11, 15\}

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.