Samochód w cenie 45000zł kupiono na raty. pierwszą ratą była kwota 3600zł, a kazda następna była o 150 zł mniejsza od poprzedniej. W ilu ratach spłacono kupno samochodu?

Zadanie 4315 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez ania69 , 11.11.2012 17:47
Default avatar
Samochód w cenie 45000zł kupiono na raty. pierwszą ratą była kwota 3600zł, a kazda następna była o 150 zł mniejsza od poprzedniej. W ilu ratach spłacono kupno samochodu?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 11.11.2012 18:42
Annas 20120518205519 thumb
Mamy tu ciąg rat, który jest ciągiem arytmetycznym o malejacych wyrazach:

a_1=3600
a_2=3600-150=3450
a_3=3450-150=3300
..
a_n

Wiemy, że suma tych rat ma wynieść 45000 zł, więc:

45000 = 3600 + 3600-150*1 + 3600-150*2+...+3600-150* n

Przekształcimy do najprostszej postaci:

45000 = 3600 +3600* n - 150* (1+2+...+n)
45000-3600 = 3600* n - 150* (1+2+...+n)
41400 = 3600* n - 150* (1+2+...+n) /obie strony dzielimy przez 150
276=24n-(1+2+...+n)

Sumę w nawiasie możemy zgodnie ze wzorem na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego zapisać jako:

(1+2+...+n)=\cfrac{1+n}{2}* n

Wtedy mamy:

276=24n-\cfrac{n(1+n)}{2}

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem jest liczba rat.

n\in N
276=24n-\cfrac{n(1+n)}{2} /*2 (żeby nie mieć ułamków)
552=48n-n-n^2
n^2-47n+552=0

\Delta=47^2-4*552=1
\sqrt{\Delta}=1
n_1=\cfrac{47-1}{2}=23
n_2=\cfrac{47+1}{2}=24

Oba wyniki matematycznie pasują, bo są z liczb naturalnych, ale tylko wynik n=23 będzie dobrą odpowiedzią - 24-ta rata wyniesie po prostu 0 zł ;).

Odpowiedź: Kupno samochodu spłacono w 23 ratach.
    • Default avatar
      ania69 11.11.2012 19:04

      tylko jak wyliczyć n ?

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.