Samochód w cenie 45000zł kupiono na raty. pierwszą ratą była kwota 3600zł, a kazda następna była o 150 zł mniejsza od poprzedniej. W ilu ratach spłacono kupno samochodu?

Zadanie dodane przez ania69 , 11.11.2012 17:47

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 11.11.2012 18:42

Mamy tu ciąg rat, który jest ciągiem arytmetycznym o malejacych wyrazach:

$a_1=3600$
$a_2=3600-150=3450$
$a_3=3450-150=3300$
..
$a_n$

Wiemy, że suma tych rat ma wynieść 45000 zł, więc:

$45000 = 3600 + 3600-150*1 + 3600-150*2+...+3600-150* n$

Przekształcimy do najprostszej postaci:

$45000 = 3600 +3600* n - 150* (1+2+...+n)$
$45000-3600 = 3600* n - 150* (1+2+...+n)$
$41400 = 3600* n - 150* (1+2+...+n)$ /obie strony dzielimy przez 150
$276=24n-(1+2+...+n)$

Sumę w nawiasie możemy zgodnie ze wzorem na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego zapisać jako:

$(1+2+...+n)=\cfrac{1+n}{2}* n$

Wtedy mamy:

$276=24n-\cfrac{n(1+n)}{2}$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem jest liczba rat.

$n\in N$
$276=24n-\cfrac{n(1+n)}{2}$ /*2 (żeby nie mieć ułamków)
$552=48n-n-n^2$
$n^2-47n+552=0$

$\Delta=47^2-4*552=1$
$\sqrt{\Delta}=1$
$n_1=\cfrac{47-1}{2}=23$
$n_2=\cfrac{47+1}{2}=24$

Oba wyniki matematycznie pasują, bo są z liczb naturalnych, ale tylko wynik $n=23$ będzie dobrą odpowiedzią - 24-ta rata wyniesie po prostu 0 zł ;).

Odpowiedź: Kupno samochodu spłacono w 23 ratach.

- ania69 11.11.2012 19:04
  
  tylko jak wyliczyć n ?
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Samochód w cenie 45000zł kupiono na raty. pierwszą ratą była kwota 3600zł, a kazda następna była o 150 zł mniejsza od poprzedniej. W ilu ratach spłacono kupno samochodu?

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: