1. Zbadaj monotoniczność ciągu ($a_{n}$) o wyrazie ogólnym an= $\frac{n-5}{n-1}$. Prosze o cały zapisz i dziekuje

Zadanie dodane przez xxxneelciaaxxx , 20.11.2012 12:47

1. Zbadaj monotoniczność ciągu ( $a_{n}$ ) o wyrazie ogólnym an= $\frac{n-5}{n-1}$ . Prosze o cały zapisz i dziekuje

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez matgeniusz3 , 20.11.2012 17:11

Na początku z tego wzoru wyliczamy $a_{1} , a_{2} i a_{3}$
$a_{1}=\frac{1-5}{1-1}=0$ (na samym początku widać że to nie jest ciąg geometryczny ponieważ0*3=0)
$a_{2}=\frac{2-5}{2-1}=-3$
$a_{3}=\frac{3-5}{3-1}=-1$
możemy srawdzić ten ciąg jako arytmetyczny
ze wzoru wyliczamy r dla $a_{1} i a_{2}$
$a_{n}=a_{1}+r(n-1)$
$-3=0+r$
$r=-3$
teraz sprawdzamy czy $a_{3}$ też nam pasuje do tego ciągu
$a_{3}=-3+-3$
$a_{3}=-6$
nie jest to ciąg arytmetycznym.
niestety $a_{3}$ nie pokrywa się z obliczonym z naszego wyrazu więc ciąg ten nie jest tęż ciągiem arytmetycznym oznacza że jest to ciąg niemonotoniczny.
koniec;)

Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez monijatcz , 22.11.2012 18:19

Przykro mi ale matgeniusz podał błędne rozwiązanie (już na samym początku w pierwszym wyrazie wykonał działanie niemożliwe czyli dzielenie przez zero)
Trochę dziwny ciąg bo nie ma wyrazu $a_1$ (liczba1 nie należy do dziedziny)
Ale można zbadać monotoniczność ciągu tylko dla n>1.
Aby zbadać monotoniczność należy zbadać znak wyrażenia $a_{n+1}-a_n$
$a_n+1=\frac{n+1-5}{n+1-1}=\frac{n-4}{n}$
$a_{n+1}-a_n=\frac{n-4}{n}-\frac{n-5}{n-1}=$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika
$=\frac{(n-4)(n-1)}{n(n-1)}-\frac{(n-5)*n}{n(n-1)}=$
$=\frac{(n-4)(n-1)-(n-5)*n}{n(n-1)}=\frac{n^2-4n-n+4-n^2+5n}{n(n-1)}=$
$=\frac{4}{n(n-1)}>0$ dla n>1
Zatem dla n>1 ciąg jest rosnący.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

1. Zbadaj monotoniczność ciągu ($a_{n}$) o wyrazie ogólnym an= $\frac{n-5}{n-1}$. Prosze o cały zapisz i dziekuje

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: