Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym a=(3n-2)/(n+1) Sprawdź jego monotoniczność.

Zadanie dodane przez grazyna1 , 04.12.2012 17:45

Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym a=(3n-2)/(n+1)
Sprawdź jego monotoniczność.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez monijatcz , 04.12.2012 20:06

$a_1=\frac{3*1-2}{1+1}=\frac{1}{2}$
$a_2=\frac{3*2-2}{2+1}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$
$a_3=\frac{3*3-2}{3+1}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$
$a_4=\frac{3*4-2}{4+1}=\frac{10}{5}=2$
$a_5=\frac{3*5-2}{5+1}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$
Jak widać każdy następny wyraz jest większy zatem ciąg jest rosnący.

Aby upewnić się , że ciąg jest rosnący
Musimy określić znak wyrażenia :
$a_{n+1}-a_n$
Zatem
$a_{n+1}-a_n=\frac{3(n+1)-2}{(n+1)+1}-\frac{3n-2}{n+1}=$
$=\frac{3n+3-2}{n+2}-\frac{3n-2}{n+1}=$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika
$=\frac{(3n+1)*(n+1)}{(n+2)*(n+1)}-\frac{(3n-2)*(n+2)}{(n+1)*(n+2)}=$
zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
$=\frac{(3n+1)*(n+1)-(3n-2)*(n+2)}{(n+2)*(n+1)}$
$=\frac{3n^2+n+3n+1-(3n^2-2n+6n-4)}{(n+2)*(n+1)}$
$=\frac{3n^2+n+3n-1-3n^2+2n-6n+4}{(n+2)*(n+1)}$
$=\frac{3}{(n+2)*(n+1)}>0$
Ciąg jest rosnący.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym a=(3n-2)/(n+1) Sprawdź jego monotoniczność.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: