Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n}$ = $\frac{3+n}{2n+1}$ a) wyznacz $a_{2n-1}$ , $a_{k+3}$ b) zbadaj monotoniczność tego ciągu c) które wyrazy tego ciąg są większe od $\frac{20}{35}$ ? b) narysuj wykres tego ciągu dla n<6 .

Zadanie 5020 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Paula123 , 16.12.2012 12:54
Default avatar
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_{n} = \frac{3+n}{2n+1}
a) wyznacz a_{2n-1} , a_{k+3}
b) zbadaj monotoniczność tego ciągu
c) które wyrazy tego ciąg są większe od \frac{20}{35} ?
b) narysuj wykres tego ciągu dla n<6 .

Nadesłane rozwiązania ( 4 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:32
Science4u 20110912181541 thumb

a)

a_{2n-1}=\cfrac{3+2n-1}{2(2n-1)+1}=\cfrac{2n+2}{4n-1}

a_{k+3}=\cfrac{3+k+3}{2(k+3)+1}=\cfrac{k+6}{2k+7}
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:36
Science4u 20110912181541 thumb

b)

Należy zbadać następującą różnicę:

a_{n+1}-a_n=

=\cfrac{3+n+1}{2(n+1)+1}-\cfrac{3+n}{2n+1}=

=\cfrac{4+n}{2n+3}-\cfrac{3+n}{2n+1}=

=\cfrac{(4+n)(2n+1)-(3+n)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}=

=\cfrac{8n+4+2n^2+n-6n-9-2n^2-3n}{(2n+3)(2n+1)}=

=\cfrac{-5}{(2n+3)(2n+1)}<0 dla dowolnego n\in\mathbb{N}

Zatem to ciąg malejący.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 3 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:43
Science4u 20110912181541 thumb

c)

Należy rozwiązać nierówność:

\cfrac{3+n}{2n+1}<\cfrac{20}{35}

35(3+n)(2n+1)-20(2n+1)^2<0

7(6n+3+2n^2+n)-4(4n^2+4n+1)<0

14n^2+49n+21-16n^2-16n-4<0

-2n^2+33n+17<0

\Delta =1089+136=1225, \sqrt{\Delta }=35

n_1=\cfrac{-33+35}{-4}=-\cfrac{1}{2}

n_2=\cfrac{-33-35}{-4}=17

Stąd:

n\in \left ( -\cfrac{1}{2}, 17\right )

Jednak pamiętajmy, że n jest liczbą naturalną, a tych w powyższym przedziale znajduje się dokładnie 16, więc odpowiedź brzmi:

Istnieje 16 wyrazów tego ciągu, które są mniejsze od \cfrac{20}{35}.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 4 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:47
Science4u 20110912181541 thumb

d)

Odpowiedni wykres znajduje się w załączniku.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.