Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n}$ = $\frac{3+n}{2n+1}$ a) wyznacz $a_{2n-1}$ , $a_{k+3}$ b) zbadaj monotoniczność tego ciągu c) które wyrazy tego ciąg są większe od $\frac{20}{35}$ ? b) narysuj wykres tego ciągu dla n<6 .

Zadanie dodane przez Paula123 , 16.12.2012 12:54

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n}$ = $\frac{3+n}{2n+1}$
a) wyznacz $a_{2n-1}$ , $a_{k+3}$
b) zbadaj monotoniczność tego ciągu
c) które wyrazy tego ciąg są większe od $\frac{20}{35}$ ?
b) narysuj wykres tego ciągu dla n<6 .

Nadesłane rozwiązania ( 4 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:32

a)

$a_{2n-1}=\cfrac{3+2n-1}{2(2n-1)+1}=\cfrac{2n+2}{4n-1}$

$a_{k+3}=\cfrac{3+k+3}{2(k+3)+1}=\cfrac{k+6}{2k+7}$

Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:36

b)

Należy zbadać następującą różnicę:

$a_{n+1}-a_n=$

$=\cfrac{3+n+1}{2(n+1)+1}-\cfrac{3+n}{2n+1}=$

$=\cfrac{4+n}{2n+3}-\cfrac{3+n}{2n+1}=$

$=\cfrac{(4+n)(2n+1)-(3+n)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}=$

$=\cfrac{8n+4+2n^2+n-6n-9-2n^2-3n}{(2n+3)(2n+1)}=$

$=\cfrac{-5}{(2n+3)(2n+1)}<0$ dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$

Zatem to ciąg malejący.

Dodaj komentarz

Rozwiązanie 3 dodane przez Science4U , 17.12.2012 10:43

c)

Należy rozwiązać nierówność:

$\cfrac{3+n}{2n+1}<\cfrac{20}{35}$

$35(3+n)(2n+1)-20(2n+1)^2<0$

$7(6n+3+2n^2+n)-4(4n^2+4n+1)<0$

$14n^2+49n+21-16n^2-16n-4<0$

$-2n^2+33n+17<0$

$\Delta =1089+136=1225$ , $\sqrt{\Delta }=35$

$n_1=\cfrac{-33+35}{-4}=-\cfrac{1}{2}$

$n_2=\cfrac{-33-35}{-4}=17$

Stąd:

$n\in \left ( -\cfrac{1}{2}, 17\right )$

Jednak pamiętajmy, że $n$ jest liczbą naturalną, a tych w powyższym przedziale znajduje się dokładnie 16, więc odpowiedź brzmi:

Istnieje 16 wyrazów tego ciągu, które są mniejsze od $\cfrac{20}{35}$ .