45. W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego wynosi 7, a suma kwadratów wyrazu drugiego i czwartego równa się 40. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi -64.

Zadanie dodane przez kamil6803 , 10.01.2013 17:03

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez monijatcz , 11.01.2013 17:26

z treści zadania wynika:
$1^o$
$\frac{a_6}{a_3}=7$
oraz
$2^o$
$a_2 ^2+a_4 ^2=40$

podstawmy $a_1$ i r do pierwszego równania $1^o$ , wyznaczmy z niego $a_1$
$a_6=7a_3$
$a_1+5r=7(a_1+2r)$
$a_1+5r=7a_1+14r$
$-6a_1=9r$
$a_1=-1,5r$

obliczmy $a_2$ i $a_4$ podstawiając wyliczone $a_1$
$a_2=a_1+r=-1,5r+r=-0,5r$
$a_4=a_1+3r=-1,5r+3r=1,5r$

Podstawmy do drugiego równania $2^o$
$(-0,5r)^2+(1,5r)^2=40$
$0,25r^2+2,25r^2=40$
$2,5r^2=40$
$r^2=16$
zatem
r=4 lub r=-4

Obliczmy dalej najpierw dla r=4
$a_1=-1,5*4=-6$

Obliczmy n z sumy przy czym $n\in N_+$
$S_n=\frac{2a_1+(n-1)*r}{2}*n$
$\frac{2*(-6)+(n-1)*4}{2}*n=-64$ pomnózmy przez 2
$(-12+4n-4)*n=-128$
$-16n+4n^2+128=0$
$4n^2-16n+128=0$ podzielmy przez 4
$n^2-4n+32=0$
$\Delta=16-128<0$
nie ma rozwiązania , zatem nie chodzi o ten ciąg, dla którego r=4

Obliczmy teraz dla r=-4
$a_1=-1,5*(-4)=6$

Obliczmy n z sumy przy czym $n\in N_+$

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)*r}{2}*n$
$\frac{2*6+(n-1)*(-4)}{2}*n=-64$ pomnózmy przez 2
$(12-4n+4)*n=-128$
$16n-4n^2+128=0$
$-4n^2+16n+128=0$ podzielmy przez 4
$-n^2+4n+32=0$
$\Delta=16+128=144$
$n_1=\frac{-4-12}{-2}=8$
$n_2=\frac{-4+12}{-2}=-4$ ( nie jest naturalne)
zatem n=8
Odp.Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi -64.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

45. W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego wynosi 7, a suma kwadratów wyrazu drugiego i czwartego równa się 40. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi -64.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: