W trójkąt równoramienny o kącie rozwartym [tex]120^{\circ}[/tex] wpisano okrąg o promieniu 5cm. Oblicz obwód i pole tego trójkąta.

Zadanie dodane przez jk1968 , 17.10.2011 21:19

W trójkąt równoramienny o kącie rozwartym $120^{\circ}$ wpisano okrąg o promieniu 5cm. Oblicz obwód i pole tego trójkąta.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Jacobo992 , 31.10.2011 20:17

zadanie jest dosyć długie więc po kolei:

1. Narysuj sobie trójkąt równoramienny ABC, w którym znajduje się opisany okrąg o r=5.
Styczne do okręgu nazwijmy D i E. Środek okręgu to oczywiście O.

Dane jakie wynikają z zadania, to:
Kat ACB = 120 |AB|= a |AC| = |BC| = b r= 5cm h=|CD|
Szukane, to:
P= 1/2a*h , O = a + 2b

Na rysunku widać, że wysokość jest równa r+x z czego x=|CO|

2 Zauważmy, że:
Wysokość CD dzieli kąt przy wierzchołku C na dwie połowy.
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku czyli trójkąt EOC jest prostopadły.
Korzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

3. Twierdzenie sinusów:

$\frac{|OE|}{x} = \sin 60^{\circ}$

$x = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

Mając x możemy policzyć wysokość trójkąta ABC

4. Z trójkąta ADC

$\frac{|AD|}{|CD|} = tg 60^{\circ}$

$\frac{1}{2} a = |\frac{(15+10\sqrt{3})\sqrt{3}}{3} = \sin 60^{\circ}$

$a=10\sqrt{3} + 20$

Teraz wystarczy policzyć Pole według wzoru podanego wyżej.

Do obliczenia obwodu brakuje b.
Aby go wyliczyć poraz kolejny zastosujemy funkcję trygonometryczną.

$\frac{|\frac{1}{2}}a{b} = tg 60^{\circ}$

Reszty już pisać nie będę, bo to analogiczne do tego co powyżej.

Powodzenia !

- Jacobo992 31.10.2011 20:25
  
  Z poprawkami, nie ogarniam tych skryptów...
  
  zadanie jest dosyć długie więc po kolei:
  
  1. Narysuj sobie trójkąt równoramienny ABC, w którym znajduje się opisany okrąg o r=5.
  Styczne do okręgu nazwijmy D i E. Środek okręgu to oczywiście O.
  
  Dane jakie wynikają z zadania, to:
  Kat ACB = 120 |AB|= a |AC| = |BC| = b r= 5cm h=|CD|
  Szukane, to:
  P= 1/2a*h , O = a + 2b
  
  Na rysunku widać, że wysokość jest równa r+x z czego x=|CO|
  
  2 Zauważmy, że:
  Wysokość CD dzieli kąt przy wierzchołku C na dwie połowy.
  Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku czyli trójkąt EOC jest prostopadły.
  Korzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
  
  3. Twierdzenie sinusów:
  
  $\frac{ |OE| }{ x }= sin 60^{\circ}$
  
  $x=\cfrac{10 \sqrt{3} }{3}$
  
  Mając x możemy policzyć wysokość trójkąta ABC
  
  4. Z trójkąta ADC
  
  $\frac{|AD|}{|CD|} = tg 60^{\circ}$
  
  $\frac{1}{2} a = \frac{(15+10 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} = sin 60^{\circ}$
  
  $a=10\sqrt{3} + 20$
  
  Teraz wystarczy policzyć Pole według wzoru podanego wyżej.
  
  Do obliczenia obwodu brakuje b.
  Aby go wyliczyć poraz kolejny zastosujemy funkcję trygonometryczną.
  
  $\frac{\frac{1}{2}}{b} = sin 60^{\circ}$
  
  Reszty już pisać nie będę, bo to analogiczne do tego co powyżej.
  
  Powodzenia !
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

W trójkąt równoramienny o kącie rozwartym [tex]120^{\circ}[/tex] wpisano okrąg o promieniu 5cm. Oblicz obwód i pole tego trójkąta.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: